定义

矩阵 $A$ 的秩是它的行向量(或列向量)中最大线性无关集的向量个数。 $m \times n$ 的矩阵 $A$ 的秩记作 $rank(A)$。

性质

1. 矩阵的行秩=列秩
2. 零矩阵: 只有零矩阵的秩为0。
3. 满秩：$rank(A)=n(A)$
4. $rank(A) \le min(m,n)$。
5. 转置矩阵的秩: $rank(A)=rank(A^T)$
6. Frobenius算法: 对矩阵 $A$ 施行初等行变换,其秩不变。
7. 如果 $AB$ 可以计算,则 $rank(AB) \le min(rank(A),rank(B))$

计算

1. Gauss消元法: 将矩阵化为阶梯形,非零行的个数即为矩阵的秩。 高斯消元法
2. 特征值: 矩阵的秩等于非零特征值的个数。

推论

设 $AB=O$,若 $A$ 为列满秩矩阵,则 $B=O$