旋转矩阵

CyletixGPT-4

旋转矩阵是满足 $R^TR=I$ 、 $\det R=1$ 的实矩阵；二维和三维分别描述保持定向的欧氏旋转。

二维空间

在二维空间中，旋转可以用一个单一的角 $\theta$ 定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转 $\theta$ 的矩阵是:

R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \cos \theta \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \sin \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \exp \left( \theta \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right)

特征值

二维旋转矩阵的两个特征值为 $e^{\pm i\theta}$ 。仅当 $\theta\notin\pi\mathbb Z$ 时它们非实； $\theta\in\pi\mathbb Z$ 时为 $1$ 或 $-1$ 。

\lambda_1 = e^{i\theta}, \quad \lambda_2 = e^{-i\theta}

证明

\det(R(\theta) - \lambda I) = 0

\det \begin{pmatrix} \cos\theta - \lambda & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta - \lambda \end{pmatrix} = 0

(\cos\theta - \lambda)^2 + \sin^2\theta = 0

\cos^2\theta - 2\lambda\cos\theta + \lambda^2 + \sin^2\theta = 0

\lambda^2 - 2\lambda\cos\theta + 1 = 0

使用求根公式，得到：

\lambda = \cos\theta \pm i\sin\theta

因此，特征值为：

\lambda_1 = e^{i\theta}, \quad \lambda_2 = e^{-i\theta}

两根互为共轭，实根是上述特殊角的情况。

三维空间

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转（欧拉旋转定理）。如果旋转角是 $\theta$ ，则旋转矩阵的另外两个（复数）特征值是 $\exp(i\theta)$ 和 $\exp(-i\theta)$ 。从而得出三维旋转的矩阵的迹数等于 $1 + 2 \cos(\theta)$ ，这可用来快速地计算任何三维旋转的旋转角。
三维旋转矩阵的生成元是三维斜对称矩阵。因为只需要三个实数来指定三维斜对称矩阵，得出只用三个实数就可以指定一个三维旋转矩阵。