定积分

简介

主要用于计算函数在特定区间上的“总效应”，比如面积、体积或其他累积量。定积分可从分割求和的极限独立定义，并不以原函数存在为前提。数学上，定积分表示为：

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

$a$ 和 $b$ 是积分的下限和上限，分别代表积分区间的起点和终点。

通过牛顿-莱布尼茨公式可将定积分与不定积分联系起来。

黎曼积分定义

设 $a<b$，$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。对分割 $P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$，在每段取 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，令

$$S(P,\xi)=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}),\qquad |P|=\max_i(x_i-x_{i-1}).$$

若存在实数 $I$，使对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，只要 $|P|<\delta$，无论怎样分割和取点都有 $|S(P,\xi)-I|<\varepsilon$，则称 $f$ 黎曼可积，记 $I=\int_a^bf(x)\,dx$。

连续函数必可积，分段连续且有界的函数也可积；有界本身不够。例如有理点取 1、无理点取 0 的函数，在任何分割上都能分别得到 $b-a$ 与 0 两种和，因此不可积。

从定义到计算

对 $f(x)=x$、区间 $[0,1]$，等分并取右端点有 $S_n=\sum_{i=1}^n(i/n)(1/n)=(n+1)/(2n)\to1/2$。连续性保证可积，所以这组和的极限就是积分；对一般有界函数，只检查一种等分取点还不足以证明可积。

积分具有线性、区间可加性和保序性；约定 $\int_b^af=-\int_a^bf$、$\int_a^af=0$。函数可以取负值，积分表示有符号累积，只有 $f\ge0$ 时才直接给出曲线下的面积。

积分上限的函数及其导数先证明连续函数的积分产生原函数，再由牛顿-莱布尼茨公式把这一极限定义转为端点相减的计算方法。无界函数或无穷区间则按反常积分另外取极限。