海维赛遮盖法

海维赛遮盖法用于快速确定积分技巧中有理分式部分分式分解的系数。

注意

这不是留数定理, 留数定理属于复分析求积分相关内容

有以下分式, 其中 $a,b$ 已知, 对其因式分解

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$$

则有$A=\frac{1}{a-b}$ , 也就是令 $x=a$ 带入原式去掉 $(x-a)$ 后剩下的部分:

$$A=\frac{1}{(x_A-b)}=\frac{1}{a-b}$$

$$B=\frac{1}{(x_B-a)}=\frac{1}{b-a}$$

$x_A$, $x_B$ 分别由$A,B$下方的根式 $x-a=0$, $x-b=0$ 决定.

推广

$$\frac{1}{(ax-b)^m(cx-d)^n}=\sum_{i=1}^{m} \frac{A_i}{(ax-b)^i}+\sum_{j=1}^{n} \frac{B_j}{(cx-d)^j}$$

最高次项系数可由遮盖法直接求出：

$$A_m=\frac{1}{(cx-d)^n}\bigg|_{x=\frac{b}{a}}, \qquad B_n=\frac{1}{(ax-b)^m}\bigg|_{x=\frac{d}{c}}$$

$x$ 由 $A$ 下方的根式 $ax-b=0$ 决定.
次高次项（如 $A_{m-1}$）不能用遮盖法直接求出，只能等其他项确定后代入一个 $x$ 值验证.

示例

例1

$$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}=\frac{A_1}{(x-1)}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{B}{(x-2)}$$

由上述公式得

$$A2=\frac{1}{(x_{A_2}-2)}=\frac{1}{1-2}=-1$$

$$B=\frac{1}{(x_{B_2}-1)^2}=\frac{1}{(2-1)^2}=1$$

最后给x随便赋一个值, 根据等式求出$A_1$

例2

$$\frac{1}{(x^2-x+1)(x-1)}=\frac{Ax+B}{(x^2-x+1)}+\frac{C}{(x-1)}$$

$$C=\frac{1}{x_C^2-x_C+1}=\frac{1}{1^2-1+1}=1$$

再带入两个$x$的特值可得$A=-1$, $B=0$ ,$C=1$