余弦-指数

$$\int e^{mt} \cos(nt) dt = e^{mt}\frac{m\cos(nt)+n\sin(nt)}{m^2 + {n^2}}$$

推导

使用两次分部积分:

$$\begin{align*} &\underline{\int e^{mt} \cos(nt) dt} \\ & = \frac{1}{m} \int \cos(nt) d(e^{mt}) \\ & = \frac{1}{m} e^{mt} \cos(nt) + \frac{n}{m}\int e^{mt} \sin(nt) dt \\ & = \frac{1}{m} e^{mt} \cos(nt) + \frac{n}{m}\left(\frac{1}{m} e^{mt} \sin(nt) - \frac{n}{m} \underline{\int e^{mt} \cos(nt) dt}\right) \end{align*}$$

其中下划线部分$\underline{\int e^{mt} \cos(nt) dt}$相同, 移项整理得到:

$$\int e^{mt} \cos(nt) dt = e^{mt}\frac{m\cos(nt)+n\sin(nt)}{m^2 + {n^2}}$$

正弦-指数

$$\int e^{mt} \sin(nt) dt = e^{mt}\frac{m \sin(nt) - n \cos(nt)}{m^2 + n^2}$$

推导

使用两次分部积分:

$$\begin{align*} &\underline{\int e^{mt} \sin(nt) dt} \\ & = \frac{1}{m} \int \sin(nt) d(e^{mt}) \\ & = \frac{1}{m} e^{mt} \sin(nt) - \frac{n}{m}\int e^{mt} \cos(nt) dt \\ & = \frac{1}{m} e^{mt} \sin(nt) - \frac{n}{m}\left(\frac{1}{m} e^{mt} \cos(nt) + \frac{n}{m} \underline{\int e^{mt} \sin(nt) dt}\right) \end{align*}$$

其中下划线部分$\underline{\int e^{mt} \sin(nt) dt}$相同, 移项整理得到:

$$\int e^{mt} \sin(nt) dt = e^{mt}\frac{m \sin(nt) - n \cos(nt)}{m^2 + n^2}$$

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幂函数-指数

$$\int x e^x \, dx$$

这种形式的积分适合选择 $u = x$( 多项式部分) , $dv = e^x \, dx$( 指数部分) .

幂函数-对数

$$\int x \ln x \, dx$$

对于这种类型的积分, 一般选取 $u = \ln x$( 对数部分) , $dv = x \, dx$( 多项式部分) .

幂函数-三角函数

$$\int x \sin x \, dx$$

在这种情况下, 常见的选择是 $u = x$, $dv = \sin x \, dx$.

幂函数-反三角

$$\int x \arctan x \, dx$$

这里通常选择 $u = \arctan x$( 反三角部分) , $dv = x \, dx$( 多项式部分) .