第一类换元法

简介

第一类换元积分法，通常也被称为 u-换元法（u-substitution）或凑微分法，是积分计算中最基本的方法。其本质是链式求导法则的逆运算，通过引入一个中间变量，将被积函数转化为更简单、可以直接使用基本积分公式的形式。
形如 $\int f(g(x)) g'(x) \, dx$ 的积分。通过识别出复合函数的“内层” $g(x)$ 及其导数 $g'(x)$，我们可以简化积分过程。

定理与公式

设函数 $f(u)$ 具有原函数 $F(u)$，即 $F'(u) = f(u)$，且 $u = g(x)$ 连续可导。

不定积分形式

$$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du = F(u) + C = F(g(x)) + C$$

定积分形式

$$\int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du = F(g(b)) - F(g(a))$$

注意

对于定积分，换元后积分的上下限也必须相应地改变，计算后无需再换回原变量。

计算

换元的关键在于如何选择合适的内层函数 $u = g(x)$，使得其微分 $du = g'(x)dx$ 恰好（或只差一个常数倍）是积分式中的剩余部分。这通常被称为“凑微分”。

常见模式

1. 复合函数的核心部分：
   • 根式内部：如在 $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$，可尝试 $u = 1-x^2$。
   • 三角函数的参数：如在 $\int \cos(2x+1) dx$，可尝试 $u = 2x+1$。
   • 指数函数的指数：如在 $\int e^{x^2} \cdot x \, dx$，可尝试 $u = x^2$。
   • 对数函数的参数：如在 $\int \frac{1}{x \ln x} dx$，可尝试 $u = \ln x$。

经验法则

在选择 $u$ 时，可以考虑一个大致的优先级顺序，因为某些函数求导后会变得更简单（通常是代数形式），使其导数更容易在原式中被“凑”出。

函数选择优先级 (经验之谈)

在被积函数中，如果包含以下函数类型作为复合函数的内层，可以优先考虑将其设为 $u$：

1. 反三角函数 (e.g., $\arctan x$, $\arcsin x$)
2. 对数函数 (e.g., $\ln x$)
3. 幂函数 (e.g., $x^2$, $x^3+1$)
4. 三角函数 (e.g., $\sin x$, $\cos x$)
5. 指数函数 (e.g., $e^x$)

重要: 这不是分部积分的 ILATE 规则，而是一个在凑微分时寻找 $g(x)$ 的直观思路。

示例

计算不定积分 $\int 2x e^{x^2} \, dx$。

1. 观察与分析：
   被积函数 $2x e^{x^2}$ 中含有一个复合结构 $e^{x^2}$。其内层函数为 $g(x) = x^2$。
2. 凑微分：
   我们尝试令 $u = x^2$。对它求微分，得到 $du = (x^2)' \, dx = 2x \, dx$。
   我们发现，$du$ 所需的 $2x \, dx$ 部分恰好存在于原被积表达式中。
3. 换元积分：

   $$\begin{align*} \int e^{x^2} \cdot (2x \, dx) &= \int e^u \, du \quad (\text{令 } u=x^2, du=2x\,dx) \end{align*}$$

4. 求解新积分：
   这是一个基本积分：$\int e^u \, du = e^u + C$
5. 代回原变量：
   将 $u = x^2$ 代回，得到最终结果：$e^{x^2} + C$