省流版

设 $f(x)$ 为可积函数，$g=g(x)$ 为连续可导函数，则有：

$$\int^\beta_\alpha f(g)g'{d}x = \int^{g(\beta)}_{g(\alpha)} f(g){d}g$$

第一类换元法的基本思想是把被积函数的部分配凑到微分内。

重点: 谁来当$g$? 各类函数的优先级顺序:

1. 反三角函数
2. 对数函数
3. 幂函数
4. 三角函数
5. 指数函数

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废话版

第一类换元法

第一类换元法是用于求解不定积分的一种常见技巧。它通过引入一个新的变量来将原始被积函数转换为一个更容易积分的形式。

步骤：

1. 选择新的变量：选择一个新的变量，通常用 u 或 t 来代替原来的自变量。这个新的变量将有助于简化被积函数。
2. 确定微分元素：计算新的变量 u 对于原来的自变量 x 的微分元素 du/dx，并得到 dx。
3. 代换：用新的变量 u 来代替原来的自变量 x，同时用 du/dx 和 dx 替换 du，将原来的被积函数转换为 u 的表达式。
4. 求不定积分：在新的变量 u 下求解积分，得到不定积分 ∫F(u) du。
5. 代回原变量：将 u 的表达式换回 x，得到最终的不定积分 ∫f(x) dx。

示例： 考虑不定积分 $∫2x e^{x^2} dx$。我们可以通过第一类换元法进行求解。

1. 选择新的变量：令 u = x^2。
2. 确定微分元素：计算 du/dx = 2x，从中得到 dx = du/(2x)。
3. 代换：将 x^2 替换为 u，将 dx 替换为 du/(2x)，得到 ∫2x e^u (du/(2x))。
4. 求不定积分：在新的变量 u 下进行积分，得到 ∫e^u du = e^u + C，其中 C 是常数。
5. 代回原变量：将 u = x^2 代回，得到最终的不定积分 ∫2x e^(x2) dx = e^(x2) + C。

因此，原不定积分 ∫2x e^(x2) dx 等于 e^(x2) 加上常数 C。