二重积分

定义

二重积分用于计算在平面区域上的函数的积分。假设我们有一个函数$f(x, y)$，并且我们希望在区域$D$上对该函数进行积分。二重积分的表示形式如下：

$$\iint_D f(x,y) \, dA$$

其中$dA$是区域$D$上的一个微小面积元。

当 $f\ge0$ 时可表示曲面下的体积，若 $f$ 为面密度则表示薄片质量；一般有正负值的函数给出有向体积。

计算

1. 定义区域$D$：确定积分的区域，可以是一般的闭合区域，也可以是简单区域。
2. 选择积分次序：选择先对$x$还是$y$进行积分。外层积分的范围先确定；矩形区域的两种次序都可使用，非矩形区域可能需要分块。
3. 计算内层积分：对其中一个变量积分，保持另一个变量不变。
4. 计算外层积分：将内层积分的结果对另一个变量积分。

例如，$f$ 在矩形 $[a,b]\times[c,d]$ 上连续时，可以化为下面的累次积分并交换积分次序：

$$\iint_{[a, b] \times [c, d]} f(x, y) \, dx \, dy = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx$$

直角坐标法

积分构成

1. 先由区域边界确定投影 $a\le x\le b$，再对固定的 $x$ 求截线范围 $\phi_1(x)\le y\le\phi_2(x)$；上下边界不是通过对 $x$ 积分得到的。
2. 这些边界定义了一个由$x$和$y$确定的二重积分区域$D$。
3. 将$D$对y积分，得到"体积"

积分解耦

1. 找到$z$的边界函数$z = z(x, y)$。
2. 找到$y$的边界函数$y = \phi_{1}(x)$和$y = \phi_{2}(x)$。
3. 对$y$积分：$\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} z(x, y) \, dy$。这是一个关于x的函数，可以记作$f(x)$
4. 对$x$积分：$\int_a^b f(x)dx$

极坐标法

1. 将平面上的点用极坐标表示：$(x, y) \rightarrow (r, \theta)$，其中$x = r \cos(\theta)$，$y = r \sin(\theta)$。
2. 转换后，积分区域也要相应转换。
3. 积分形式变为：

$$\iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D'} f(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) \, r \, dr \, d\theta$$

换元

二重积分换元法

定义与换序条件

对有界、边界面积为零的平面区域 $D$ 及其上的有界函数 $f$，把区域分成直径趋于零的小块，取各块任意点 $\xi_i$，若和 $\sum_i f(\xi_i)\Delta A_i$ 都趋于同一个有限值，就定义为二重黎曼积分。这是定积分的二维对应；累次积分是满足条件后的计算方法。

更一般的 Lebesgue 积分中，非负可测函数可按 Tonelli 定理换序（结果允许 $+\infty$）；若 $\iint |f|<\infty$，则 Fubini 定理保证几乎处处存在的截面积分可换序且值有限。仅两种累次积分各自存在不足以保证相等，不能把有限连续情形直接推广到带奇点的积分。

极坐标式中的 $D'$ 是原区域 $D$ 在参数平面中的对应区域，$r\ge0$，通常选择长度不超过 $2\pi$ 的角度区间避免重复覆盖。