ILATE 规则

分部积分中, 在选择哪个函数作 $u$ 时, 有一个被广泛使用的经验法则, 称为 ILATE 规则. 该规则为选择 $u$ 的函数类型设定了优先级, 排在前面的函数求导后形式会变得更简单 (变为代数式) , 而排在后面的函数 (如指数, 三角函数) 积分后形式依然简单且可控.

• I (Inverse trigonometric) - 反三角函数: 如 $\arcsin x, \arctan x$
• L (Logarithmic) - 对数函数: 如 $\ln x, \log_b x$
• A (Algebraic) - 代数函数: 如 $x^2, 3x+7$
• T (Trigonometric) - 三角函数: 如 $\sin x, \cos x$
• E (Exponential) - 指数函数: 如 $e^x, 2^x$

应用规则
在被积函数中, 按照 I → L → A → T → E 的顺序, 排在前面的函数类型优先被选为 $u$. 剩余的部分则为 $dv$.