区间再现

计算定积分的常用技巧。对 $[a,b]$ 上的连续函数 $f$，作关于区间中点的对称替换 $x\mapsto a+b-x$，有

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a+b-x)\,dx$$

将原积分与变换后的积分相加，得到对称形式（"区间再现"）：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \frac12 \int_a^b \left[ f(x) + f(a+b-x) \right] \, dx$$

当 $f(x)+f(a+b-x)$ 能抵消复杂部分时尤为有效。例如 $I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$：令 $x\mapsto\frac\pi2-x$ 得 $I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$，两式相加 $2I=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac\pi2$，故 $I=\frac\pi4$。