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Cyletix2025年1月2日大约 1 分钟

无界函数的反常积分涉及在积分区间或被积函数中存在无界性的情况。

定义

对于函数f(x)f(x),如果在某个区间[a,b][a, b]内的某一点cca<c<ba < c < b)上函数无界,即limxcf(x)=\lim_{x \to c} |f(x)| = \infty,那么在这个区间的积分被称为无界函数的反常积分。

计算

要计算无界函数f(x)f(x)在区间[a,b][a, b]上的反常积分,一种常见的方法是将积分区间从aabb分割成两个部分,并在无界点cc处引入极限处理:

abf(x)dx=limϵ0+(acϵf(x)dx+c+ϵbf(x)dx) \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \left(\int_a^{c-\epsilon} f(x) \, dx + \int_{c+\epsilon}^b f(x) \, dx\right)

这里的ϵ\epsilon是一个趋近于0的正数,通过这种方式,我们可以“绕过”cc点的无界性。

示例

考虑计算反常积分011xdx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx。函数1x\frac{1}{\sqrt{x}}x=0x = 0处无界。

此积分可以计算为:

011xdx=limϵ0+ϵ11xdx=limϵ0+[2x]ϵ1=limϵ0+(22ϵ)=2 \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [2\sqrt{x}]_\epsilon^1 = \lim_{\epsilon \to 0^+} (2 - 2\sqrt{\epsilon}) = 2

这种处理反常积分的方法使我们能够在数学上合理地处理无界函数带来的问题,从而得出有意义的积分结果。