沃利斯积分

简介

沃利斯公式（Wallis Formula），在中文教材中常因其递推计算的形式被称为点火公式。该名称通常指代两个密切相关的数学成果：

1. 沃利斯积分：一个计算正弦函数（或余弦函数）高次幂在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 区间上定积分的递推公式。
2. 沃利斯积：一个通过无穷乘积来表示圆周率 $\pi$ 的著名公式。

沃利斯乘积可以由沃利斯积分推导得出，它们都是微积分中的经典结论，尤其在理论分析和近似计算中有重要应用。

定义

沃利斯积分 (Wallis Integrals)

对于正整数 $n$，定积分 $\int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx = \int_0^{\pi/2} \cos^n x \, dx$ 的值可用以下公式计算：

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & \text{, 若 } n \text{ 为偶数} \\ \displaystyle \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} & \text{, 若 } n \text{ 为奇数} \end{cases}$$

使用双阶乘 (!!) 表示则更为简洁：

$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \begin{cases} \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!} \frac{\pi}{2} & \text{, 若 } n \text{ 为偶数} \\ \displaystyle \frac{(n-1)!!}{n!!} & \text{, 若 } n \text{ 为奇数} \end{cases}$$

推导

设 $I_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx$。我们可以使用分部积分法来建立 $I_n$ 的递推关系。
令 $u = \sin^{n-1}x$，$dv = \sin x \, dx$。
则 $du = (n-1)\sin^{n-2}x \cos x \, dx$，$v = -\cos x$。

根据分部积分公式：

$$\begin{align*} I_n &= \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx \\ &= \left[ -\sin^{n-1}x \cos x \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} (-\cos x) \cdot (n-1)\sin^{n-2}x \cos x \, dx \\ &= 0 + (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x \cos^2 x \, dx \\ &= (n-1) \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x (1-\sin^2 x) \, dx \\ &= (n-1) \left( \int_0^{\pi/2} \sin^{n-2}x \, dx - \int_0^{\pi/2} \sin^n x \, dx \right) \\ &= (n-1)(I_{n-2} - I_n) \end{align*}$$

整理上式 $I_n = (n-1)I_{n-2} - (n-1)I_n$，可得：

$$n I_n = (n-1)I_{n-2} \implies I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$$

通过计算初始值 $I_0 = \frac{\pi}{2}$ 和 $I_1 = 1$，反复应用此递推式，即可得到沃利斯积分的最终形式。