分部积分法

简介

分部积分法, 是求解积分问题的一种重要方法. 它源于函数乘积的求导法则, 常用于对两个不同类型函数乘积的积分. 通过该方法, 可以将一个复杂的积分问题转化为一个更简单, 可直接求解的积分问题.

其思想核心是将待积函数看作一个函数的导数与另一个函数的乘积, 从而进行转化. 在离散的级数分析中, 其对应的方法称为分部求和 (Summation by parts) .

定义

分部积分法包括不定积分和定积分两种形式
分部积分法公式

公式使用的关键在于恰当地选择哪个函数作为 $u$ (被微分) , 哪个函数作为 $dv$ (被积分) . 一个好的选择可以使新积分 $\int v\,du$ 比原积分 $\int u\,dv$ 更简单.

推导

分部积分法可由函数乘积的求导法则 (Product Rule) 推导得出.
假设 $u(x)$ 与 $v(x)$ 是两个连续可导函数, 根据乘积法则, 它们乘积的导数为:

$$\frac{d}{dx}(uv) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$$

对等式两边同时求不定积分:

$$\int \frac{d}{dx}(uv) \,dx = \int \left( u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} \right) \,dx$$

根据微积分基本定理, 左侧积分为 $uv$. 右侧可以拆分为两个积分之和:

$$uv = \int u \,dv + \int v \,du$$

移项整理, 即可得到分部积分法的不定积分形式:

$$\int u \,dv = uv - \int v \,du$$

ILATE 规则

ILATE 规则

应用

示例: 计算 $\int x \cos(x) dx$

1. 这是一个代数函数 ($x$) 与三角函数 ($\cos x$) 的乘积.
2. 根据 ILATE 规则, 代数函数 (A) 优先于三角函数 (T), 所以选择:
   • $u = x \implies du = dx$
   • $dv = \cos(x) dx \implies v = \int \cos(x) dx = \sin(x)$
3. 应用分部积分公式:

   $$\begin{align*} \int x \cos(x) dx &= uv - \int v du \\ &= x \sin(x) - \int \sin(x) dx \\ &= x \sin(x) - (-\cos(x)) + C \\ &= x \sin(x) + \cos(x) + C \end{align*}$$

典型应用

• **沃利斯积分 (点火公式) **: 用于计算定积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx$ 和 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x \, dx$.
  沃利斯积分

推广

分部积分法也存在一些其他表达形式或推广:

• 镶套积分形式:

  $$\int fg\,dx = f\int g\,dx - \int \left(f' \int g\,dx\right)\,dx$$

  该形式在 $f$ 连续可导且 $g$ 连续时有效.
• 推广形式: 在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分中有更广泛的分部积分公式.