Wikipedia

假设 $h(x)$ 与 $k(x)$ 是两个连续可导函数。由乘积法则可知

$$\frac{d(hk)}{dx} = \frac{dh}{dx}k + h\frac{dk}{dx}$$

对上述等式两边求不定积分，得

$$hk = \int \left(\frac{dh}{dx}k + h\frac{dk}{dx}\right)dx = \int hdk + \int kdh$$

移项整理，得不定积分形式的分部积分方程

$$\int \frac{dh}{dx}kdx = hk - \int h\frac{dk}{dx}dx$$

由以上等式我们可以推导出分部积分法在区间$[a, A]$的定积分形式

定积分形式

$$\int_{a}^{A}\frac{dh}{dx}kdx = \left[hk\right]_{a}^{A} - \int_{a}^{A}h\frac{dk}{dx}dx$$

已经积出的部分 $\left[hk\right]_{a}^{A}$ 可以代入上下限$$a, A$$表示为以下等式，

$$\left[hk\right]_{a}^{A} = h(A)k(A) - h(a)k(a)$$

而以上这条等式可以通过函数求导乘积法则，以及微积分基本定理通过以下方式倒推并得以验证

$$h(A)k(A) - h(a)k(a) = \int_{a}^{A}\frac{d(hk)}{dx}dx = \int_{a}^{A}\left(\frac{dh}{dx}k + h\frac{dk}{dx}\right)dx = \int_{a}^{A}kdh + \int_{a}^{A}hdk$$

在传统的微积分教材里分部积分法通常写成不定积分形式：

$$\int f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx$$

如果更简单些，令 $u = f(x)$、$v = g(x)$，微分 $du = f'(x)dx$ 和 $dv = g'(x)dx$，就可以得到更常见到的形式：

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

注意，上面的原式中含有 $g$ 的导数；在使用这个规则时必须先找到不定积分 $g$，并且积分 $\int gf'dx$ 必须是可积的

---

在级数的离散分析中也可以用到类似的公式表达，称为分部求和。 另一可用的表达方式可以将原表达方式里的因子仅写成 $f$ 和 $g$，但缺点是引进了镶套积分：

$$\int fg\,dx = f\int g\,dx - \int \left(f' \int g\,dx\right)\,dx$$

这个表达方式只有当 $f$ 是连续可导而且 $g$ 是连续的时才有效。

在黎曼-斯蒂尔吉斯积分和勒贝格-斯蒂尔吉斯积分有更多分部积分的公式。

提示：部分积分下面这样更复杂一点的积分运算里也是有效的：

$$\int u v\,dw = uvw - \int uw\,dv - \int vw\,du$$

选择 $u$ 和 $dv$ 的规则（ILATE 规则）

在选择 $u$ 和 $dv$ 时，一种常用的记忆方法是“ILATE”规则，这是各类型函数的优先级：

• I (Inverse trigonometric functions) - 反三角函数：$\arcsin x$, $\arctan x$, 等。
• L (Logarithmic functions) - 对数函数：$\ln x$, $\log_b x$。
• A (Algebraic functions) - 代数函数：$x^2$, $3x + 7$ 等。
• T (Trigonometric functions) - 三角函数：$\sin x$, $\cos x$。
• E (Exponential functions) - 指数函数：$e^x$, $2^x$。

应用ILATE规则

1. 在多个函数的乘积中，尽可能按照ILATE的顺序来选择 $u$。
2. 选择 $u$ 后，剩余部分作为 $dv$。

这个顺序基于将 $u$ 设置为积分后会简化的函数的想法。对数和反三角函数在微分后简化为代数形式，而代数函数和三角函数微分后一般不会增加复杂度，指数函数微分后形式不变。

应用

点火公式