沃利斯乘积

定义

沃利斯积 (Wallis Product)

该公式给出了圆周率 $\pi$ 的一种无穷乘积表示形式：

$$\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2n}{2n-1} \cdot \frac{2n}{2n+1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots$$

也可以写作：

$$\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2 - 1}$$

推导

从沃利斯积分推导沃利斯积, 此推导利用了积分的单调性和夹逼定理。

1. 当 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，有 $0 < \sin x < 1$。因此，对于任意正整数 $n$，成立不等式：$$ \sin^{2n+1} x < \sin^{2n} x < \sin^{2n-1} x $$
2. 对上式三边同时在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上积分，得到：$$ I_{2n+1} < I_{2n} < I_{2n-1} $$
3. 三边同时除以 $I_{2n+1}$：$$ 1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} $$
4. 利用递推关系 $I_{2n-1} = \frac{2n}{2n-1} I_{2n+1}$，代入上式右侧：$$ \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = \frac{2n+1}{2n} $$
5. 于是，不等式变为：

$$1 < \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} < \frac{2n+1}{2n}$$

6. 当 $n \to \infty$ 时，$\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2n} = 1$。根据夹逼定理，可知：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1$$

7. 最后，将 $I_{2n}$ 和 $I_{2n+1}$ 的双阶乘表达式代入：

$$\frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = \frac{\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{\pi}{2}}{\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}} = \frac{(2n-1)!!(2n+1)!!}{((2n)!!)^2} \frac{\pi}{2} = \frac{((2n-1)!!(2n+1))((2n-1)!!)}{((2n)!!)^2} \frac{\pi}{2}$$

整理后即为无穷乘积的形式。当 $n \to \infty$ 时，其极限为 1，反解出 $\frac{\pi}{2}$ 即可得到沃利斯积。