标准形式

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$$

正半轴形式

$$\int^{+\infty}_{0}e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

推导

高斯积分的计算可以通过极坐标转换导出：

考虑积分

$$I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx$$

平方两边：

$$I^2 = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx \right) \left( \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} \, dy \right)$$

将二重积分转换为极坐标：

$$I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2 + y^2)} \, dx \, dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr \, d\theta$$

计算角度积分：

$$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi$$

计算径向积分：

$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr$$

令 $u = r^2$，则 $du = 2r \, dr$：

$$\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} \, du = \frac{1}{2}$$

因此：

$$I^2 = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$$

所以：

$$I = \sqrt{\pi}$$

应用

1. 正态分布：在概率论中，高斯积分用于计算标准正态分布的概率分布。
2. 物理学：在量子力学和统计力学中，高斯积分用于求解路径积分和计算系统的配分函数。
3. 信号处理：在滤波器设计和分析中，高斯函数常用作窗口函数，高斯积分用于计算频域和时域之间的转换。