常见积分形式处理

本文按被积函数的结构分类，汇总定积分计算中常见的积分形式及处理方法：

1. 三角函数的平方
2. 三角函数的乘积
3. 二次根式
4. 分母为平方和
5. 分母为线性因子的幂
6. 指数与三角函数的乘积
7. 幂函数与对数函数的乘积
8. 有理分式
9. 特殊函数的积分

三角函数的平方

$$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}, \quad \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$$

这些公式经常需要用来简化三角函数平方的积分。

示例：

$$\int \cos^2\theta \, d\theta = \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin(2\theta)}{4} + C$$

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三角函数的乘积

$$\cos A \cos B = \frac{\cos(A+B) + \cos(A-B)}{2}, \quad \sin A \sin B = \frac{\cos(A-B) - \cos(A+B)}{2}$$

$$\sin A \cos B = \frac{\sin(A+B) + \sin(A-B)}{2}$$

这些公式可以将乘积转化为和差形式，便于积分。

示例：

$$\int \sin\theta \cos\theta \, d\theta = \int \frac{\sin(2\theta)}{2} \, d\theta = -\frac{\cos(2\theta)}{4} + C$$

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二次根式

形如 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{x^2 - a^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 的积分（本节 $a>0$，参数须选在适配的单调分支上），常用三角代换：

• 对于 $\sqrt{a^2 - x^2}$，令 $x = a \sin\theta$。
• 对于 $\sqrt{x^2 - a^2}$，令 $x = a \sec\theta$。
• 对于 $\sqrt{a^2 + x^2}$，令 $x = a \tan\theta$。

示例：

$$\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin\frac{x}{a} + C$$

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分母为平方和

形如 $\frac{1}{a^2 + x^2}$、$\frac{x}{a^2 + x^2}$ 等，使用标准积分公式：

$$\int \frac{1}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\frac{x}{a} + C$$

$$\int \frac{x}{a^2 + x^2} \, dx = \frac{1}{2}\ln(a^2 + x^2) + C$$

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分母为线性因子的幂

形如 $\frac{1}{(x+a)^n}$：

• 当 $n = 1$ 时，$\int \frac{1}{x+a} \, dx = \ln|x+a| + C$
• 当 $n > 1$ 时，$\int \frac{1}{(x+a)^n} \, dx = -\frac{1}{(n-1)(x+a)^{n-1}} + C$

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指数与三角函数的乘积

形如 $e^{ax} \cos(bx)$、$e^{ax} \sin(bx)$ 的积分，使用分部积分或公式：

$$\int e^{ax} \cos(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2} + C$$

$$\int e^{ax} \sin(bx) \, dx = \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2 + b^2} + C$$

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幂函数与对数函数的乘积

形如 $x^n \ln(x)$：

$$\int x^n \ln(x) \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln(x) - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C \quad (n \neq -1)$$

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有理分式

对于分母为高次多项式的有理分式，常用 部分分式分解 简化成已知形式，系数可借助海维赛遮盖法快速求出。

示例：

$$\int \frac{x^2}{x^3+x}\,dx=\int \frac{x}{x^2+1}\,dx=\frac12\ln(1+x^2)+C\quad(x\ne0)$$

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特殊函数的积分

$$\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) - x + C$$

$$\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C$$

平方和分母公式取 $a e0$；指数与三角乘积公式取 $a^2+b^2>0$；含实对数的各式取 $x>0$。有理式示例只需约去 $x$，不能无中生有加上 $1/x$；原式在零点未定义，约分后仍须保留原定义域。