与Riemann积分的比较

微积分中的定积分（Riemann 积分）是最先学会的积分，但它对函数要求苛刻：函数须有界、不连续点不能"太多"，且极限交换依赖一致收敛。Lebesgue 积分是它的推广，两者关系由 Lebesgue 判别精确刻画：Riemann 可积 ⟺ 有界且不连续点集为零测集。需先掌握Lebesgue积分的定义、可测集（零测集概念）与几乎处处。

Riemann 可积 ⟹ Lebesgue 可积

闭区间 $[a,b]$ 上有界的 Riemann 可积函数 $f$ 必 Lebesgue 可积，且积分值相等：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{[a,b]} f\,dm$$

这是 Lebesgue 积分作为 Riemann 积分推广的精确含义：旧积分不丢，新积分更多。反之不成立（见下）。

Lebesgue 判别

设 $f$ 在 $[a,b]$ 上有界，$D_f$ 为 $f$ 的不连续点集。则 $f$ Riemann 可积当且仅当

$$m(D_f) = 0$$

即不连续点构成零测集。证明思路：Riemann 和的上、下和之差由振荡 $\omega_f(x)$ 控制；$f$ Riemann 可积当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，$\omega_f(x)\ge\varepsilon$ 的点集可被总长度任意小的区间覆盖，等价于 $D_f$ 零测（见可测集）。

直接推论

• 连续函数在闭区间上必 Riemann 可积（$D_f=\varnothing$）。
• 只有可数个不连续点（如阶梯函数、单调函数）的函数必 Riemann 可积——可数个点构成零测集。
• Riemann 可积函数必几乎处处连续；反之"除零测集外连续"的有界函数必 Riemann 可积。

Lebesgue 比 Riemann 多积了哪些函数

Dirichlet 函数 $D(x)=\mathbf{1}_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}(x)$：处处不连续，$D_f=[0,1]$ 测度为 $1$，Riemann 不可积；但 $D=0$ a.e.，Lebesgue 积分为 $0$（见几乎处处中的例子）。

Thomae 函数（Riemann 函数）：$T(p/q)=1/q$（$p/q$ 既约）、$T(x)=0$（$x$ 无理）。不连续点集恰为 $\mathbb{Q}$，零测集，故 Riemann 可积且积分为 $0$——它显示"可积"远比"连续"宽松。

极限交换的差异

Riemann 积分换序需要一致收敛；Lebesgue 只需逐点收敛加控制（单调收敛定理、控制收敛定理）。例：枚举 $[0,1]$ 中有理数 $r_1,r_2,\dots$，令 $f_n=\mathbf{1}_{\{r_1,\dots,r_n\}}$。每个 $f_n$ 只有有限个不连续点，Riemann 可积且积分为 $0$；但 $f_n\to D$ 逐点收敛，极限 Dirichlet 函数 Riemann 不可积——逐点极限破坏了 Riemann 可积性，Lebesgue 理论则用控制收敛定理直接处理。

反常积分：条件收敛 ≠ Lebesgue 可积

Lebesgue 积分本质上要求绝对可积：$f$ 可积 ⟺ $|f|$ 可积。因此条件收敛的反常积分不在 Lebesgue 可积范围内。例：

$$\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx = \frac{\pi}{2} \quad \text{（条件收敛），} \qquad \int_0^\infty \left|\frac{\sin x}{x}\right|\,dx = \infty$$

$\sin x/x$ 是 Lebesgue 可测但不 Lebesgue 可积（见反常积分）。这说明两种"积分"各有边界：Lebesgue 积分换取的是极限定理与可积函数类的完备性（$L^p$ 空间），代价是不再直接涵盖条件收敛的广义积分。

后续

与 Riemann 积分的比较是理解 Lebesgue 积分意义的入口：它解释了为何 $L^p$ 空间（Lp空间的定义）与概率期望可以建立在不完备的 Riemann 积分上——以及为何推广后极限交换（控制收敛定理）、重积分换序（Fubini定理）不再需要苛刻条件。Lebesgue 判别同时也是数值积分误差分析的理论背景。