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积分表

CyletixGPT-6数学公式

常用基本积分公式表，用于求不定积分，按被积函数类型分类。

幂指函数

∫kdx=kx+C\int k dx = kx + C

∫xndx=xn+1n+1+C(n≠−1)\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

∫1xdx=ln⁡∣x∣+C\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C

∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C

∫axdx=axln⁡a+C(a>0,a≠1)\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)

三角函数

∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C\int \sin x dx = -\cos x + C

∫cos⁡xdx=sin⁡x+C\int \cos x dx = \sin x + C

∫tan⁡xdx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C\int \tan x dx = -\ln|\cos x| + C

∫cot⁡xdx=ln⁡∣sin⁡x∣+C\int \cot x dx = \ln|\sin x| + C

∫sec⁡xdx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\int \sec x dx = \ln|\sec x + \tan x| + C

∫csc⁡xdx=ln⁡∣csc⁡x−cot⁡x∣+C\int \csc x dx = \ln|\csc x - \cot x| + C

∫sec⁡2xdx=tan⁡x+C\int \sec^2 x dx = \tan x + C

∫csc⁡2xdx=−cot⁡x+C\int \csc^2 x dx = -\cot x + C

∫1sin⁡2xdx=−cot⁡x+C\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C

∫11−sin⁡xdx=tan⁡x+sec⁡x+C\int \frac{1}{1 - \sin x} dx = \tan x + \sec x + C

反三角函数

∫11−x2dx=arcsin⁡x+C\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C

∫1a2−x2dx=arcsin⁡xa+C(a>0)\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin \frac{x}{a} + C \quad (a > 0)

∫−11−x2dx=arccos⁡x+C\int -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arccos x + C

∫11+x2dx=arctan⁡x+C\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C

∫−1x2+1dx=arccot x+C\int -\frac{1}{x^2+1} dx = \text{arccot} \, x + C

∫1∣x∣x2−1dx=arcsec x+C\int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} dx = \text{arcsec} \, x + C

∫−1∣x∣x2−1dx=arccsc x+C\int -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} dx = \text{arccsc} \, x + C

反双曲函数

∫1x2+a2 dx=ln⁡∣x+x2+a2∣+C=arcsinh(xa)+C\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \, dx = \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + C = \text{arcsinh}\left(\frac{x}{a}\right) + C

∫1x2−a2 dx=ln⁡∣x+x2−a2∣+C=arccosh(xa)+C\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \, dx = \ln|x + \sqrt{x^2 - a^2}| + C = \text{arccosh}\left(\frac{x}{a}\right) + C

∫11−x2 dx=12ln⁡∣1+x1−x∣+C=arctanh(x)+C(∣x∣<1)\int \frac{1}{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{1 + x}{1 - x}\right| + C = \text{arctanh}(x) + C \quad (|x| < 1)

∫1x2−1 dx=12ln⁡∣x−1x+1∣+C=−arccoth(x)+C(∣x∣>1)\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C = -\text{arccoth}(x) + C \quad (|x| > 1)

∫1x1−x2 dx=−ln⁡1+1−x2x+C=−arcsech(x)+C(0<x<1)\int \frac{1}{x \sqrt{1 - x^2}} \, dx = -\ln\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} + C = -\text{arcsech}(x) + C \quad (0 < x < 1)

∫1∣x∣1+x2 dx=−arccsch(x)+C(x≠0)\int \frac{1}{|x| \sqrt{1 + x^2}} \, dx = -\text{arccsch}(x) + C \quad (x \neq 0)

反圆锥曲线函数与对数函数的统一
反圆锥曲线函数与对数函数的统一

分支与常数

实幂公式一般在 x>0x>0 使用；整数幂等可在其余定义区间延伸。所有原函数等式都在被积函数连续的区间上理解。反正割、反余割采用常用求导公式的常用主值分支，要求 ∣x∣>1|x|>1，因此分母必须有 ∣x∣|x|。

含 x2±a2x^2\pm a^2 的两条反双曲公式设 a>0a>0。其中 arcosh⁡(x/a)\operatorname{arcosh}(x/a) 只适用于 x>ax>a；在 x<−ax<-a 应写成 −arcosh⁡(−x/a)+C-\operatorname{arcosh}(-x/a)+C。带绝对值的对数式适用于这两个区间，积分常数分别独立。对数式与反双曲式之间的固定常数已吸收到各自的 CC 中。

tan⁡x+sec⁡x\tan x+\sec x 在 cos⁡x=0,sin⁡x=−1\cos x=0,\sin x=-1 处产生额外的可去间断点；原被积函数 1/(1−sin⁡x)1/(1-\sin x) 在这些点有定义。需要覆盖这样的区间时，原函数可统一写作 tan⁡(π/4+x/2)+C\tan(\pi/4+x/2)+C。

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