分部积分法的一种特殊技巧：当被积函数包含指数与三角函数乘积时，两次分部积分法后原积分重现，移项即可解出。

余弦-指数

$$\int e^{ax} \cos(bx) dx = e^{ax}\frac{a\cos(bx)+n\sin(bx)}{a^2 + {b^2}}$$

推导

使用两次分部积分:

$$\begin{align*} &\underline{\int e^{ax} \cos(bx) dx} \\ & = \frac{1}{a} \int \cos(bx) d(e^{ax}) \\ & = \frac{1}{a} e^{ax} \cos(bx) + \frac{b}{a}\int e^{ax} \sin(bx) dx \\ & = \frac{1}{a} e^{ax} \cos(bx) + \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a} e^{ax} \sin(bx) - \frac{b}{a} \underline{\int e^{ax} \cos(bx) dx}\right) \end{align*}$$

其中下划线部分$\underline{\int e^{ax} \cos(bx) dx}$相同, 移项整理得到:

$$\int e^{ax} \cos(bx) dx = e^{ax}\frac{a\cos(bx)+b\sin(bx)}{a^2 + {b^2}}$$

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正弦-指数

$$\int e^{ax} \sin(bx) dx = e^{ax}\frac{a \sin(bx) - b \cos(bx)}{a^2 + b^2}$$

推导

使用两次分部积分:

$$\begin{align*} &\underline{\int e^{ax} \sin(bx) dx} \\ & = \frac{1}{a} \int \sin(bx) d(e^{ax}) \\ & = \frac{1}{a} e^{ax} \sin(bx) - \frac{b}{a}\int e^{ax} \cos(bx) dx \\ & = \frac{1}{a} e^{ax} \sin(bx) - \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a} e^{ax} \cos(bx) + \frac{b}{a} \underline{\int e^{ax} \sin(bx) dx}\right) \end{align*}$$

其中下划线部分$\underline{\int e^{ax} \sin(bx) dx}$相同, 移项整理得到:

$$\int e^{ax} \sin(bx) dx = e^{ax}\frac{a \sin(bx) - b \cos(bx)}{a^2 + b^2}$$