不定积分

简介

不定积分是微积分的基本概念之一，指求已知函数全体原函数的运算。在微积分基本定理的框架下，它是求导运算的逆运算；与定积分的联系由牛顿-莱布尼茨公式给出。

定义

若 $F'(x)=f(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。$f(x)$ 的原函数全体记作不定积分：

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

其中：

• $\int$ 为积分符号；
• $F(x)$ 为 $f(x)$ 的某一个原函数；
• $C$ 为积分常数。常数求导为零，原函数彼此相差任意常数，故不定积分必含 $C$。

互逆关系说明
求导与不定积分互为逆运算，但映射关系不同。求导是将一个函数映射为唯一的导函数；而求不定积分是将一个函数映射为一个函数族。 因为任意常数的导数恒为零，原函数在加上任意常数 $C$ 后，其导数依然等于原被积函数 $f(x)$。因此，为了表示所有的原函数，不定积分的结果必须包含任意常数 $C$。