跳至主要內容

经典类型

Cyletix大约 1 分钟

第二类换元法的主要思路是将 dxdx 换元后里面的内容提取到外面, 得到容易求得的积分后再将变量换回xx.

设 f(x)f(x) 为可积函数，x=x(g)x = x(g) 为连续可导函数，则有：

Info

∫αβf(x) dx=∫αβf(ϕ(t))d(ϕ(t))=∫ϕ−1(α)ϕ−1(β)f(ϕ(t))ϕ′(t)dt \int_\alpha^\beta f(x) \, dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))d(\phi(t)) = \int_{\phi^{-1}(\alpha)}^{\phi^{-1}(\beta)} f(\phi(t)) \phi\prime(t) dt

+ 注意点

  1. 三角函数
  2. 反三角函数运算
  3. 计算定积分时函数是否连续

经典类型

在遇到类似 x2−a2\sqrt{x^2-a^2}、x2+a2\sqrt{x^2+a^2} 和 a2−x2\sqrt{a^2-x^2} 的式子时，通常采取分别令 x=±asec⁡tx = \pm a \sec t、x=±atan⁡tx = \pm a \tan t 或 x=±asin⁡tx = \pm a \sin t 进行换元，得到关于 tt 的一个原函数。

1. a2−x2\sqrt{a^2-x^2}

+ 例1: $\displaystyle\int \sqrt{a^2-x^2}dx, (a>0)$

x∈[−a,a]x \in[-a,a] 令 x=±asin⁡(t)x = \pm a \sin (t), 则 dx=acos⁡(t)dtdx=a\cos(t)dt

∫a2−x2dx=∫a2−a2sin⁡2(t)d(asin⁡(t)) \int \sqrt{a^2-x^2}dx =\int \sqrt{ a^{2}-a^{2}\sin^{2}(t) } d(a\sin(t))

=∫acos⁡(t)⋅acos⁡(t) dt=a2(t2+sin⁡(2t)4) =\int a\cos(t)\cdot a\cos(t) \, dt =a^{2}\left( \frac{t}{2}+\frac{\sin(2t)}{4} \right)

令x=±acos⁡(t)x = \pm a \cos (t), 也能解出

2. x2+a2\sqrt{x^2+a^2}

+ 例2: $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}} dx, (a>0)$

令 x=±atan⁡(t)x = \pm a \tan (t), x∈[−∞,∞]x \in[-\infty,\infty], t∈(−π2,π2)t \in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})

3. x2−a2\sqrt{x^2-a^2}类

+ 例3: $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} dx, (a>0)$

令 x=±asec⁡(t)x = \pm a \sec (t), x∈[a,∞]{} x \in[a,\infty] {}, t∈(0,π2)t \in(0,\frac{\pi}{2})