相似矩阵

相似矩阵描述了矩阵间某种等价关系。两个矩阵如果表示相同的线性变换但在不同的基下，则称它们是相似的。

定义

如果存在一个可逆矩阵$P$，使得矩阵$A$和$B$满足

$$B = P^{-1}AP$$

则称矩阵$A$和$B$是相似的（$A$ is similar to $B$），记作$A \sim B$。

性质

1. 相似关系的对称性和传递性：如果$A \sim B$，则$B \sim A$；如果$A \sim B$且$B \sim C$，则$A \sim C$。
2. 特征值相同：相似矩阵具有相同的特征值。
3. 行列式和迹相等：如果$A \sim B$，则$\det(A) = \det(B)$且$\text{tr}(A) = \text{tr}(B)$。
4. 幂相同：相似矩阵的幂次相同，即如果$A \sim B$，则对于任意整数$n$，有$A^n \sim B^n$。

相似矩阵的作用

1. 对角化：矩阵$A$可以通过相似变换化为对角矩阵$D$，即存在可逆矩阵$P$，使得$P^{-1}AP = D$，其中$D$是对角矩阵。对角化有助于简化矩阵的计算。
2. 简化问题：通过相似变换，可以将复杂矩阵变为简单形式，从而简化计算问题，例如求矩阵的幂、指数等。
3. 线性变换的研究：相似矩阵的概念帮助我们理解不同基下的线性变换表示，以及它们之间的关系。

示例

Example

考虑两个矩阵

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$

我们可以找到一个可逆矩阵$P$，使得$B = P^{-1}AP$。例如，设

$$P = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

验证：

$$P^{-1}AP = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} = B$$

因此，矩阵$A$和$B$是相似的。