傅立叶级数的三角形式

周期为 $T$ 的函数 $f(x)$ 可以使用傅立叶级数表示为：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n x}{T} + b_n \sin \frac{2\pi n x}{T} \right)$$

其中，$a_n$ 和 $b_n$ 是傅立叶系数，可以通过原函数积分计算得到：

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \, dx \quad (n=0,1,2,\dots)$$

$$b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \, dx \quad (n=0,1,2,\dots)$$

周期窗口(积分区间)的选取是任意的，只要长度为一个完整周期即可

性质

• 定理: 收敛定理, Dirichlet充分条件

奇偶性

有些函数的傅立叶级数只包含正弦或者余弦项

• 奇函数展开为正弦级数
• 偶函数展开为余弦级数

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推导

三角级数

1. 周期函数

正弦函数是一种常见而简单的周期函数, 例如描述简谐振动的函数

$$y=A\sin(\omega t+\phi)$$

实际问题中还有非正弦函数外的周期函数, 如矩形波 周期函数反映了客观世界的周期运动

2. 矩形波展开为正弦函数:

前面介绍过使用函数的幂级数展开函数, 周期函数可以展开为三角函数

$$f(t)=A_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin(n\omega t+\phi_{n})$$

• $A_{0}$称为直流分量
• $A_{1}\sin(\omega t+\phi)$称为一次谐波或基波
• $A_{n}\sin(\omega t+\phi)$ 称为n次谐波

傅里叶级数

使用三角公式变形级数项

$$A_n\sin(n\omega t+\phi_n)=A_n\sin(\phi)\cos(n\omega t)+A_n\cos(\phi_n)\sin(n\omega t)$$

为了方便, 将上式符号改写为

$$\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))$$

可以得到，其中$a_n$ $b_n$均为常数。 这样一来我们把周期为$\frac{2\pi}{\omega}$的三角函数变成了周期为$2\pi$的三角级数 下面讨论以$T=2\pi$为周期的三角级数

三角函数系

例如: 1, $cos(x)$, $\sin(x)$, $\sin(2x)$, $\cos(2x)$...$\cos(nx)$, $\sin(nx)$ 三角函数系有正交性: 任意两个三角函数系的乘积在区间$[-\pi,\pi]$上的定积分=0 证明使用积化和差

周期函数展开为三角函数系

如果周期函数可以展开为

$$f(x)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))$$

我们不禁要问$a_n$ $b_n$ 之间存在什么关系，换句话说，如何使用已知信息$f(x)$将$a_n$ $b_n$表示出来。 为此，我们进一步假设等式两端可以积分。

1. 计算$a_0$

将傅立叶级数的表达式在 $[- \pi, \pi]$ 区间上积分：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left(\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))\right)\,dx$$

由于余弦函数和正弦函数在 $[- \pi, \pi]$ 内的积分为零，即：

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\,dx = 0 \quad \text{(对于 $n \neq 0$)}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\,dx = 0 \quad \text{(对于所有 $n$)}$$

所以，上述积分式简化为：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{a_{0}}{2}\,dx = \dfrac{a_{0}}{2} \cdot 2\pi = a_0 \cdot \pi$$

因此，

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$

2. 计算 $a_n$

为了得到 $a_n$，将原级数表达式乘以 $\cos(mx)$ （其中 $m$ 是任意正整数）后在 $[- \pi, \pi]$ 区间上积分：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left(\dfrac{a_{0}}{2}\cos(mx) + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)\cos(mx) + b_{n}\sin(nx)\cos(mx))\right) dx$$

根据三角函数的正交性：

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx)\,dx = \begin{cases} \pi, & \text{当 } n = m \\ 0, & \text{当 } n \neq m \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\cos(mx)\,dx = 0 \quad \text{(对于所有 $n$ 和 $m$)}$$

由此可得：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx)\,dx = a_m \cdot \pi$$

所以：

$$a_{m}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx) \, dx \quad \text{(其中 $m = 1, 2, 3, \dots$)}$$

3. 计算 $b_n$

类似地，为了得到 $b_n$，将原级数表达式乘以 $\sin(mx)$ 后在 $[- \pi, \pi]$ 区间上积分：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(mx)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left(\dfrac{a_{0}}{2}\sin(mx) + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)\sin(mx) + b_{n}\sin(nx)\sin(mx))\right) dx$$

根据三角函数的正交性：

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\sin(mx)\,dx = \begin{cases} \pi, & \text{当 } n = m \\ 0, & \text{当 } n \neq m \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\sin(mx)\,dx = 0 \quad \text{(对于所有 $n$ 和 $m$)}$$

由此可得：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(mx)\,dx = b_m \cdot \pi$$

所以：

$$b_{m}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx) \, dx \quad \text{(其中 $m = 1, 2, 3, \dots$)}$$

于是我们得到了傅立叶级数展开中的所有系数：

$$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$

$$a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) \, dx , (n=1,2,\dots)$$

$$b_{n}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) \, dx , (n=1,2,\dots)$$

根据假设的前提 $T=2\pi/\omega$，可以将上式推广至任意周期函数

Dirichlet充分条件

一个定义在$[-\infty,\infty]$的周期为$2\pi$的函数$f(x)$，如果在一个周期上可积，那么一定可以做出傅立叶级数。然而$f(x)$的傅立叶级数是否一定收敛？如果它收敛，那它是否一定收敛于$f(x)$？一般来说，这两个答案都不是肯定的，那么 $f(x)$ 在怎样的的条件下，它的傅立叶级数不仅收敛，而且收敛于 $f(x)$ ？也就是说在满足什么条件下可以展开为傅立叶级数？

Info

设$f(x)$是周期为$2\pi$的周期函数，如果满足

• 在一个周期内连续或只有有限个[[第一类间断点]]
• 在一个周期内至多只有有限个极值点 那么。的傅立叶级数收敛，并且
• 当$x$是$f(x)$的连续点时，级数收敛于 $f(x)$
• 当$x$是$f(x)$的间断点时，级数收敛于$\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$

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复指数形式

下面借由欧拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 将傅里叶级数系数简化成复数指数形式。

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n x}{T} + b_n \sin \frac{2\pi n x}{T} \right)$$

使用$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 将正弦和余弦表示为复指数形式

$$\cos \frac{2\pi n x}{T} = \frac{e^{i \frac{2\pi n x}{T}} + e^{-i \frac{2\pi n x}{T}}}{2}$$

$$\sin \frac{2\pi n x}{T} = \frac{e^{i \frac{2\pi n x}{T}} - e^{-i \frac{2\pi n x}{T}}}{2i}$$

代入傅立叶级数得到：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \left( \frac{e^{i \frac{2\pi n x}{T}} + e^{-i \frac{2\pi n x}{T}}}{2} \right) + b_n \left( \frac{e^{i \frac{2\pi n x}{T}} - e^{-i \frac{2\pi n x}{T}}}{2i} \right) \right]$$

重新整理，我们可以将上面的表达式转化为：

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{2\pi n x}{T}}$$

其中，复数系数 $c_n$ 定义为：

$$c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \frac{2\pi n x}{T}} \, dx$$

复数系数与原傅立叶系数的关系

对于 $n > 0$：

$$c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}$$

对于 $n < 0$：

$$c_n = \frac{a_{|n|} + i b_{|n|}}{2}$$

对于 $n = 0$：

$$c_0 = \frac{a_0}{2}$$

这样，原来的傅立叶级数形式就可以简化为复数指数形式。

总结

利用欧拉公式可以将傅立叶级数的三角形式转换为复数指数形式。这种形式在许多应用中更为方便，尤其在涉及到对称性或频谱分析时。傅立叶系数 $c_n$ 可以通过直接对函数 $f(x)$ 进行复数指数形式的积分来计算，并且与原三角形式中的 $a_n$ 和 $b_n$ 有直接的关系。