傅里叶级数

1804 年，傅里叶首次提出“在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单纯的正弦与余弦之和”，但并没有给出严格的证明。1829 年，由德国数学家狄利克雷 (Dirichlet) 证明的狄利克雷条件为傅里叶级数奠定了理论基础。

傅立叶级数的三角形式

周期为 $T$ 的函数 $f(x)$ 可以使用傅立叶级数表示为：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n x}{T} + b_n \sin \frac{2\pi n x}{T} \right)$$

其中，$a_n$ 和 $b_n$ 是傅立叶系数，可以通过原函数积分计算得到：

$$a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \cos \frac{2\pi n x}{T} \, dx \quad (n=0,1,2,\dots)$$

$$b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(x) \sin \frac{2\pi n x}{T} \, dx \quad (n=0,1,2,\dots)$$

周期窗口(积分区间)的选取是任意的，只要长度为一个完整周期即可。

使用 $\omega = \frac {2 \pi}{T}$ 的写法多用于工科，上述写法多用于数学教材。

傅立叶级数的复指数形式

下面借由欧拉公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 将傅里叶级数系数简化成复数指数形式。

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{2\pi n x}{T} + b_n \sin \frac{2\pi n x}{T} \right)$$

使用 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ 将正弦和余弦表示为复指数形式

$$\cos \frac{2\pi n x}{T} = \frac{1}{2}\left[e^{i \frac{2\pi n x}{T}} + e^{-i \frac{2\pi n x}{T}}\right]$$

$$\sin \frac{2\pi n x}{T} = \frac{1}{{2i}}\left[e^{i \frac{2\pi n x}{T}} - e^{-i \frac{2\pi n x}{T}}\right]$$

代入傅立叶级数得到：

$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \left( \frac{e^{i \frac{2\pi n x}{T}} + e^{-i \frac{2\pi n x}{T}}}{2} \right) + b_n \left( \frac{e^{i \frac{2\pi n x}{T}} - e^{-i \frac{2\pi n x}{T}}}{2i} \right) \right]$$

重新整理，我们可以将上面的表达式转化为：

$$f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \frac{2\pi n x}{T}}$$

其中，复数系数 $c_n$ 定义为：

$$c_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) e^{-i \frac{2\pi n x}{T}} \, dx$$

复数系数与原傅立叶系数的关系

对于 $n > 0$：

$$c_n = \frac{a_n - i b_n}{2}$$

对于 $n < 0$：

$$c_n = \frac{a_{|n|} + i b_{|n|}}{2}$$

对于 $n = 0$：

$$c_0 = \frac{a_0}{2}$$

这样，原来的傅立叶级数形式就可以简化为复数指数形式。

例题：求以 $T$ 为周期的函数的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式. $$f_{T} (t) = \left{ \begin{array}{l l} 0, & - T / 2 < t < 0, \ 2, & 0 < t < T / 2 \end{array} \right.$$

解：令 $\omega_0 = 2\pi / T$ ，当 $n = 0$ 时，

$$c_{0} = F (0) = \frac {1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (t) \mathrm{d} t = \frac {1}{T} \int_{0}^{T / 2} 2 \mathrm{d} t = 1;$$

当 $n \neq 0$ 时，

$$\begin{array}{r l} c_{n} & = F (n \omega_{0}) = \frac {1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f_{T} (t) \mathrm{e}^{- \mathrm{j} n \omega_{0} t} \mathrm{d} t \\ & = \frac {2}{T} \int_{0}^{T / 2} \mathrm{e}^{- \mathrm{j} n \omega_{0} t} \mathrm{d} t = \frac {\mathrm{j}}{n \pi} (\mathrm{e}^{- \mathrm{j} n \frac {\omega_{0} T}{2}} - 1) \\ & = \frac {\mathrm{j}}{n \pi} (\mathrm{e}^{- \mathrm{j} n \pi} - 1) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, & \text {当} n \text {为偶数}, \\ - \frac {2 \mathrm{j}}{n \pi}, & \text {当} n \text {为奇数}. \end{array} \right. \end{array}$$

$f_{T}(t)$ 的傅里叶级数的复指数形式为$$f_{T} (t) = 1 + \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \frac {- 2 j}{(2 n - 1) \pi} \mathrm{e}^{\mathrm{j} (2 n - 1) \omega_{0} t}.$$

振幅谱为$$\mid F (n \omega_{0}) \mid = \left{ \begin{array}{l l} 1, & n = 0, \ 0, & n = \pm 2, \pm 4, \dots , \ \frac {2}{| n | \pi}, & n = \pm 1, \pm 3, \dots . \end{array} \right.$$

相位谱为$$\arg F (n \omega_{0}) = \left{ \begin{array}{l l} 0, & n = 0, \pm 2, \pm 4, \dots , \ \frac {- \pi}{2}, & n = 1, 3, 5, \dots , \ \frac {\pi}{2}, & n = - 1, - 3, - 5, \dots . \end{array} \right.$$

其图形如图所示.

(a)

(b)

(c)

总结

利用欧拉公式可以将傅立叶级数的三角形式转换为复数指数形式。这种形式在许多应用中更为方便，尤其在涉及到对称性或频谱分析时。傅立叶系数 $c_n$ 可以通过直接对函数 $f(x)$ 进行复数指数形式的积分来计算，并且与原三角形式中的 $a_n$ 和 $b_n$ 有直接的关系。

奇偶性

有些函数的傅立叶级数只包含正弦或者余弦项

• 奇函数展开为正弦级数
• 偶函数展开为余弦级数

三角级数

1. 周期函数

正弦函数是一种常见而简单的周期函数, 例如描述简谐振动的函数

$$y=A\sin(\omega t+\phi)$$

实际问题中还有非正弦函数外的周期函数, 如矩形波
周期函数反映了客观世界的周期运动

2. 矩形波展开为正弦函数:

前面介绍过使用函数的幂级数展开函数, 周期函数可以展开为三角函数

$$f(t)=A_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin(n\omega t+\phi_{n})$$

• $A_{0}$称为直流分量
• $A_{1}\sin(\omega t+\phi)$称为一次谐波或基波
• $A_{n}\sin(\omega t+\phi)$ 称为n次谐波

傅里叶级数

使用三角公式变形级数项

$$A_n\sin(n\omega t+\phi_n)=A_n\sin(\phi)\cos(n\omega t)+A_n\cos(\phi_n)\sin(n\omega t)$$

为了方便, 将上式符号改写为

$$\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))$$

可以得到，其中$a_n$ $b_n$均为常数。
这样一来我们把周期为$\frac{2\pi}{\omega}$的三角函数变成了周期为$2\pi$的三角级数
下面讨论以$T=2\pi$为周期的三角级数

三角函数系

例如: 1, $cos(x)$, $\sin(x)$, $\sin(2x)$, $\cos(2x)$...$\cos(nx)$, $\sin(nx)$
三角函数系有正交性: 任意两个三角函数系的乘积在区间$[-\pi,\pi]$上的定积分=0
证明使用积化和差

周期函数展开为三角函数系

如果周期函数可以展开为

$$f(x)=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))$$

我们不禁要问$a_n$ $b_n$ 之间存在什么关系，换句话说，如何使用已知信息$f(x)$将$a_n$ $b_n$表示出来。
为此，我们进一步假设等式两端可以积分。

1. 计算$a_0$

将傅立叶级数的表达式在 $[- \pi, \pi]$ 区间上积分：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left[\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))\right]\,dx$$

由于余弦函数和正弦函数在 $[- \pi, \pi]$ 内的积分为零，即：

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\,dx = 0 \quad \text{(对于 $n \neq 0$)}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\,dx = 0 \quad \text{(对于所有 $n$)}$$

所以，上述积分式简化为：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \dfrac{a_{0}}{2}\,dx = \dfrac{a_{0}}{2} \cdot 2\pi = a_0 \cdot \pi$$

因此，

$$a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$

2. 计算 $a_n$

为了得到 $a_n$，将原级数表达式乘以 $\cos(mx)$ （其中 $m$ 是任意正整数）后在 $[- \pi, \pi]$ 区间上积分：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left[\dfrac{a_{0}}{2}\cos(mx) + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)\cos(mx) + b_{n}\sin(nx)\cos(mx))\right] dx$$

根据三角函数的正交性：

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\cos(mx)\,dx = \begin{cases} \pi, & \text{当 } n = m \\ 0, & \text{当 } n \neq m \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\cos(mx)\,dx = 0 \quad \text{(对于所有 $n$ 和 $m$)}$$

由此可得：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(mx)\,dx = a_m \cdot \pi$$

所以：

$$a_{m}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx) \, dx \quad \text{(其中 $m = 1, 2, 3, \dots$)}$$

3. 计算 $b_n$

类似地，为了得到 $b_n$，将原级数表达式乘以 $\sin(mx)$ 后在 $[- \pi, \pi]$ 区间上积分：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(mx)\,dx = \int_{-\pi}^{\pi} \left(\dfrac{a_{0}}{2}\sin(mx) + \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}\cos(nx)\sin(mx) + b_{n}\sin(nx)\sin(mx))\right) dx$$

根据三角函数的正交性：

$$\int_{-\pi}^{\pi} \sin(nx)\sin(mx)\,dx = \begin{cases} \pi, & \text{当 } n = m \\ 0, & \text{当 } n \neq m \end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(nx)\sin(mx)\,dx = 0 \quad \text{(对于所有 $n$ 和 $m$)}$$

由此可得：

$$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(mx)\,dx = b_m \cdot \pi$$

所以：

$$b_{m}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx) \, dx \quad \text{(其中 $m = 1, 2, 3, \dots$)}$$

于是我们得到了傅立叶级数展开中的所有系数：

$$a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx$$

$$a_{n}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx) \, dx , (n=1,2,\dots)$$

$$b_{n}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) \, dx , (n=1,2,\dots)$$

根据假设的前提 $T=2\pi/\omega$，可以将上式推广至任意周期函数