几何重数

定义

特征值 $\lambda$ 的几何重数，是其特征空间 $\ker(A-\lambda I)$ 的维数，即与 $\lambda$ 对应的线性无关特征向量的最大个数。

几何重数（和代数重数一样）针对每一个特征值 $\lambda$ 分别定义：一个矩阵有几个（可重）特征值，就有几组 $(\text{alg}(\lambda),\ \text{geom}(\lambda))$，不存在「整个矩阵」的几何重数。它满足

$$1\le\text{geom}(\lambda)\le\text{alg}(\lambda),$$

并与代数重数一起决定矩阵能否对角化。

直观本质

几何重数在操作层面上，就是解齐次线性方程组 $(A-\lambda I)x=0$ 时基础解系包含的向量个数（自由未知量的个数）。

• 代数重数（$\text{alg}$）：特征方程里该特征值被分配的理论维度（理论配额）。
• 几何重数（$\text{geom}$）：实际能找到的互不共线的纯缩放方向个数（实际产出）。

计算

几何重数就是 $A-\lambda I$ 的零化度（nullity）：

$$\text{geom}(\lambda)=\operatorname{nullity}(A-\lambda I)=\dim\ker(A-\lambda I)=n-\operatorname{rank}(A-\lambda I).$$

由秩-零化度定理，零化度 $=n-\operatorname{rank}$，所以实际算几何重数只需把 $A-\lambda I$ 行化简求秩，再用 $n$ 减去它。

极简对比实例

以下三个 3 阶矩阵的特征多项式均为 $(\lambda-5)^3=0$，即特征值 $\lambda=5$ 的代数重数都是 $3$，只有几何重数不同：

矩阵 1（几何重数 = 3）

$$A_1=\begin{pmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}$$

• $A_1-5I=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\implies\operatorname{rank}=0$
• 几何重数：$\text{geom}(5)=3-0=\mathbf{3}$
• 几何直观：三维空间中 $x,y,z$ 三个轴向都在纯粹放大 5 倍，空间完全没有扭曲（可对角化）。

矩阵 2（几何重数 = 2）

$$A_2=\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}$$

• $A_2-5I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\implies\operatorname{rank}=1$
• 几何重数：$\text{geom}(5)=3-1=\mathbf{2}$
• 几何直观：只能在 $x$ 方向和 $z$ 方向找到 2 个纯缩放轴；$y$ 方向在缩放的同时被拉扯错位（剪切变形），无法凑齐 3 个特征向量。

矩阵 3（几何重数 = 1）

$$A_3=\begin{pmatrix}5&1&0\\0&5&1\\0&0&5\end{pmatrix}$$

• $A_3-5I=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\implies\operatorname{rank}=2$
• 几何重数：$\text{geom}(5)=3-2=\mathbf{1}$
• 几何直观：退化最严重，整个三维空间只有 $x$ 轴这 1 个方向能保持纯拉伸。

对角化的充要条件

矩阵可对角化当且仅当每一个特征值都满足 $\text{geom}(\lambda)=\text{alg}(\lambda)$（即不存在维度缺失）。

• 单根（$\text{alg}=1$）必有 $\text{geom}=1$，自动满足。
• 重根（$\text{alg}>1$）才可能发生维度缺失（$\text{geom}<\text{alg}$）。

实例：4 阶矩阵的重数与对角化

若 4 阶方阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=\lambda_2=a$ 且 $\lambda_3=\lambda_4=b$（$a\neq b$）：

1. 代数重数：$\text{alg}(a)=2$（因式 $(\lambda-a)^2$）、$\text{alg}(b)=2$（因式 $(\lambda-b)^2$），总和 $2+2=4=n$。
2. 几何重数：分别代入两个特征值求秩

$$\text{geom}(a)=4-\operatorname{rank}(A-aI),\qquad\text{geom}(b)=4-\operatorname{rank}(A-bI),$$

其值只可能是 $1$ 或 $2$。
3. 对角化判定：$A$ 可对角化的充要条件是

$$\operatorname{rank}(A-aI)=2\quad\text{且}\quad\operatorname{rank}(A-bI)=2,$$

即两者的几何重数都达到满配额 $2$，凑齐 $4$ 个线性无关的特征向量；任一秩为 $3$（几何重数为 $1$）则不可对角化。