幂零矩阵

幂零矩阵是指存在正整数 $k$ 使得 $N^k=O$（零矩阵）的方阵。$n$ 阶幂零矩阵必有 $N^n=O$：其特征多项式为 $\lambda^n$，由凯莱-哈密顿定理知 $N^n=O$。

• 幂零矩阵的全部特征值都是 $0$。
• 非零的幂零矩阵不可对角化：若 $N$ 可对角化且特征值全为 $0$，则 $N=POP^{-1}=O$，矛盾。
• 主对角线全为 $0$ 的严格上（下）三角矩阵必为幂零矩阵。
• 幂零矩阵是Jordan标准型中 Jordan 块的「平移部分」$N$，即 $J=\lambda I+N$；把矩阵拆成「数量矩阵 $+$ 幂零矩阵」后可用二项式定理展开并由 $N^k=O$ 截断，进而计算矩阵的高次幂（完整例子见不可对角化矩阵的幂，可对角化情形见对角化）或套用广义二项式定理。