半正定矩阵

定义

半正定矩阵是正定矩阵的一个补充：

1. 对称性：矩阵 $A$ 是对称的，即 $A = A^T$。
2. 所有特征值均非负：矩阵 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 均满足 $\lambda_i \geq 0$。

与正定矩阵的主要区别在于，半正定矩阵的特征值可以等于零，而正定矩阵的特征值必须严格大于零。

二次型

一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ 被称为半正定矩阵，如果对于所有向量 $x \in \mathbb{R}^n$，都有：

$$x^T A x \geq 0$$

若存在非零向量 $x \neq 0$ 满足 $x^T A x = 0$，则 $A$ 是半正定但不是正定矩阵。

性质

1. 所有特征值均非负。
2. 半正定矩阵都是对称矩阵 $A = A^T$。
3. 半正定二次型：对于任意向量 $x$，$x^T A x \geq 0$。
4. 半正定矩阵不一定可逆，特征值中包含零时矩阵为奇异矩阵。

示例

矩阵 $A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ 是半正定矩阵，因为其特征值为 $5$ 和 $0$，满足非负条件。

该矩阵的性质与正定矩阵相似，但由于存在零特征值，$A$ 不可逆。