对角化

对角化是把矩阵通过相似变换化为对角矩阵的过程，可极大简化矩阵幂、矩阵指数等运算。

定义

矩阵$A$ 通过相似变换矩阵$P$转化为对角矩阵$D$ 的过程

$$P^{-1}AP=D$$

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条件

1. 充分的线性无关特征向量:

   • 对于一个 $n \times n$ 矩阵, 需要有 $n$ 个线性无关 的特征向量.

2. 代数重数=几何重数：
   代数重数
   几何重数

   • 对每一个特征值，其几何重数必须等于代数重数；等价地，各特征空间维数之和为 $n$。特征向量不能通过“重复计算”增加数量，必须选出 $n$ 个线性无关的特征向量。

步骤

设 $A$ 为 $n\times n$ 矩阵：

1. 计算特征值：解特征方程

   $$\begin{vmatrix}A-\lambda I\end{vmatrix}=0$$

   得到特征值 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$。
2. 计算特征向量：对于每个 $\lambda_i$，求解

   $$(A-\lambda_iI)x_i=0$$

   得到特征向量 $x_i$。
3. 构造相似变换矩阵

   $$P=[x_1, x_2, ..., x_n]$$

4. 相似变换得到对角矩阵

   $$P^{-1}AP=D$$

   其中 $D$ 为对角矩阵，对角线元素为 $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$。

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幂次

如果一个矩阵$A$可以被对角化，即存在可逆矩阵$P$和对角矩阵$D$，使得

$$A = PDP^{-1}$$

那么$A$的幂次计算可以大大简化：对于任意正整数$n$，有

$$A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}$$

其中$D^n$是对角矩阵$D$的$n$次幂。如果$D$是一个对角矩阵，其形式为

$$D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}$$

则$D^n$也是一个对角矩阵，其对角元素是$\lambda_i^n$，即

$$D^n = \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^n \end{bmatrix}$$

因此，

$$A^n = PD^nP^{-1} = P \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^n \end{bmatrix} P^{-1}$$

若 $A$ 不可对角化，则无法走 $PD^nP^{-1}$ 这条路，改用不可对角化矩阵的幂（凯莱-哈密顿定理带余除法或幂零矩阵拆分）。