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定义

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定义

矩阵AA 通过相似变换矩阵PP转化为对角矩阵DD 的过程

P−1AP=D P^{-1}AP=D

条件

  1. 充分的线性无关特征向量:

    • 对于一个 n×nn \times n 矩阵, 需要有 nn 个线性无关 的特征向量.

  2. 代数重数=几何重数： 代数重数几何重数

    • 对于每一个特征值, 其代数重数必须等于其几何重数 . 这个条件等价于对每个特征值, 特征向量的个数( 包括重复计算的) 至少要达到该特征值在特征多项式中出现的次数.

步骤

  1. 计算特征值
  2. 计算特征向量
  3. 构造相似变换矩阵P
  4. 相似变换得到对角矩阵D

设A为n×nn\times n矩阵

  1. 求特征方程: $$\begin{vmatrix}A-\lambda I\end{vmatrix}=0$$解出特征值λ1,λ2,...,λn\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n
  2. 对于每个λi\lambda_i,求对应的特征向量xix_i,使得 $$(A-\lambda_iI)x_i=0$$
  3. 构造相似变换矩阵 $$P=[x_1, x_2, ..., x_n]$$
  4. 则$$P^{-1}AP=D$$ 其中D为对角矩阵,对角线元素为λ1,λ2,...,λn\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n

推论

对角化矩阵的无穷次方

如果一个矩阵AA可以被对角化，即存在一个可逆矩阵PP和一个对角矩阵DD，使得

A=PDP−1 A = PDP^{-1}

那么AA的幂次计算可以大大简化。

对角化矩阵的幂次

对于任意正整数nn，有

An=(PDP−1)n=PDnP−1 A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}

其中DnD^n是对角矩阵DD的nn次幂。如果DD是一个对角矩阵，其形式为

D=[λ10⋯00λ2⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λn] D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{bmatrix}

则DnD^n也是一个对角矩阵，其对角元素是λin\lambda_i^n，即

Dn=[λ1n0⋯00λ2n⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λnn] D^n = \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^n \end{bmatrix}

因此，

An=PDnP−1=P[λ1n0⋯00λ2n⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯λnn]P−1 A^n = PD^nP^{-1} = P \begin{bmatrix} \lambda_1^n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^n \end{bmatrix} P^{-1}