定义

正定矩阵有时会简称为正定阵, 是对称矩阵或者更一般的厄米矩阵的一种特殊形式, 满足：

1. 对称性：矩阵 $A$ 是对称的，即 $A = A^T$。
2. 所有特征值均为正：矩阵 $A$ 的所有特征值 $\lambda_i$ 都大于零。

二次型

所有特征值均为正这一性质使得正定矩阵在优化问题中特别重要，因为它对应于严格凸的二次型。一个 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ 被称为正定矩阵，如果对于所有非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，都有：

$$x^T A x > 0$$

如果二次型同时包含了等于零的情况, 这时A称为[[半正定矩阵]].

在线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。

性质

正定矩阵有以下性质：

1. 所有特征值都为正。
2. 所有正定矩阵都是对称矩阵 $A = A^T$。
3. 正定二次型：对于任意非零向量$x$，$x^T A x > 0$。
4. 行列式大于零，$\text{det}(A) > 0$
5. 正定矩阵都可逆，并且其逆矩阵也是正定矩阵。
6. Cholesky分解： 任意正定矩阵$A$可以进行Cholesky分解，即存在一个下三角矩阵$L$，使得$A = LL^T$，其中$L$是唯一的并且所有对角线元素均为正。
7. 正定性保持： 如果$A$是正定矩阵，且$B$是非零矩阵，则$B^T A B$也是正定矩阵。
8. Schur补性： 若$A$是正定矩阵，可以通过Schur补来证明部分子矩阵也具有正定性。
9. 最小特征值界限： 正定矩阵的最小特征值提供了其矩阵范数的下界，即$\|A\| \geq \lambda_{\min}(A)$，其中$\lambda_{\min}(A)$是矩阵$A$的最小特征值。

判断

判断一个矩阵是否为正定矩阵，可以通过以下几种方法：

1. 特征值法： 如果矩阵$A$的所有特征值都为正，则$A$是正定矩阵。特征值可以通过求解矩阵的特征多项式得到。

2. 主子矩阵法（Leading Principal Minors）： 如果矩阵$A$的所有主子矩阵（即从左上角开始的所有子矩阵）的行列式都大于零，则$A$是正定矩阵。具体步骤如下：

   • 对于$1 \times 1$的主子矩阵，其行列式必须大于零。
   • 对于$2 \times 2$的主子矩阵，其行列式必须大于零。
   • 对于$3 \times 3$的主子矩阵，其行列式必须大于零。
   • 以此类推，直到$n \times n$的主子矩阵。

3. 矩阵形式法： 对于任意非零向量$z$，若$z^T A z > 0$，则矩阵$A$是正定的。

示例

让我们应用这些方法判断矩阵$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$是否为正定矩阵：

特征值法

求矩阵$A$的特征值：

$$\text{det}(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (3 - \lambda)(3 - \lambda) - 1 \cdot 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0$$

解特征方程：

$$\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0$$

$$\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} = 4 \text{ or } 2$$

由于特征值$4$和$2$都大于零，所以矩阵$A$是正定矩阵。

主子矩阵法

考虑矩阵$A$的主子矩阵：

• $1 \times 1$的主子矩阵：$\begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}$，行列式为$3 > 0$。
• $2 \times 2$的主子矩阵：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$，行列式为$3 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 9 - 1 = 8 > 0$。

由于所有主子矩阵的行列式都大于零，所以矩阵$A$是正定矩阵。

矩阵形式法

对于任意非零向量$z = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix}$，我们计算$z^T A z$：

$$z^T A z = \begin{bmatrix} z_1 & z_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \end{bmatrix} = 3z_1^2 + 2z_1 z_2 + 3z_2^2$$

这是一个严格的二次形式，因为对任意非零向量$z$，$3z_1^2 + 2z_1 z_2 + 3z_2^2 > 0$。

综上所述，矩阵$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$是正定矩阵。