特征值和特征向量描述了线性变换中的不变量. 当对向量进行线性变换时, 这个线性变换不改变向量的方向, 仅改变向量的长度, 这等效于一个标量与向量数乘. 这个标量就是特征值, 描述了线性变换在特定向量上的缩放因子

定义

对于一个给定的 $n \times n$ 矩阵 $A$，如果存在一个非零向量 ${v}$ 和一个标量 $\lambda$，使得矩阵方程

$$A {v} = \lambda {v}$$

成立，则 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值 ${v}$ 称为与 $\lambda$ 对应的特征向量。 可以通过求解特征方程来找到特征值：

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

性质

1. 特征值的数量：一个$n \times n$矩阵有$n$个特征值（包括复数特征值和重根）
2. 迹和行列式：矩阵 $A$ 的特征值之和等于矩阵 $A$ 的迹（对角线元素之和）
3. 特征值的乘积等于矩阵 $A$ 的行列式
4. 对称矩阵：对称矩阵的特征值全是实数

示例

Example

矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

解特征方程

$$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = 0$$

$$(4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 =0$$

得特征值

$$\lambda_1 = 5, \lambda_2 = 2$$

重数

代数重数几何重数

示例

考虑一个 $3 \times 3$ 的矩阵 $A$：

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$$

计算特征多项式：

$$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 3-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \\ \end{bmatrix} = (3-\lambda)^2(2-\lambda)$$

从这个特征多项式中可以看出特征值 $3$ 和 $2$。 特征值 $3$ 在多项式中出现了两次，因此其代数重数是 $2$。 特征值 $2$ 出现了一次，因此其代数重数是 $1$。

计算各特征值对应的特征向量：

• 对于 $\lambda = 3$，解方程 $(A - 3I){v} = {0}$ 得到：

$$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} {v} = {0}$$

从这个简化后的矩阵中，我们发现对于 $\lambda = 3$ 的特征向量的自由变量有一个，因此几何重数是 $1$。

• 对于 $\lambda = 2$，解方程 $(A - 2I){v} = {0}$ 得到：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} {v} = {0}$$

这里只有一个自由变量，因此几何重数也是 $1$。

结论

在这个例子中，特征值 $3$ 的代数重数为 $2$，但几何重数为 $1$，表明 $A$ 对于 $\lambda = 3$ 不完全可对角化（几何重数小于代数重数）。特征值 $2$ 的代数重数和几何重数都是 $1$，表示它完全可对角化。 这个区分对理解矩阵的结构和求解与矩阵相关的问题（如解线性方程组或寻找矩阵的稳定性）非常重要。