Jordan标准型通过相似变换将矩阵化简为一种特殊的准对角形式，每个对角块称为一个Jordan块。 Jordan块是围绕一个特征值的准对角矩阵，对角线上是相同的特征值，而对角线上方可能有若干个1，其他位置为0。

$$\begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda\\ \end{bmatrix}$$

主对角线上的元素都是$\lambda$，紧邻主对角线上方的元素都是1，其余位置都是0，叫做属于$\lambda$的一个 Jordan 矩阵，或称 Jordan 块。

Jordan 标准型的求解过程

1. 求解特征值： 通过解特征多项式 $\det(A - \lambda I) = 0$ 来计算矩阵 $A$ 的特征值。
2. 计算代数重数和几何重数： 代数重数几何重数
3. 构造Jordan块： 对于每个特征值 $\lambda$，其Jordan块的大小和数量取决于特征值的代数重数与几何重数。如果几何重数小于代数重数，将存在大小大于1的Jordan块。
4. 求解广义特征向量： 当几何重数小于代数重数时，需要计算广义特征向量。这涉及到解 $(A - \lambda I)^k {v} = 0$，其中 $k$ 大于1直到找到足够的广义特征向量。
5. 构造相似变换矩阵 $P$： 相似变换矩阵 $P$ 的列是由 $A$ 的特征向量和广义特征向量组成的。这些列向量的排列顺序与Jordan块在Jordan标准型中的位置相对应。

示例

假设有矩阵 $A$ 如下：

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$

特征值 $\lambda = 4$，重复三次。计算得到几何重数为1，因此需要一个 $3 \times 3$ 的Jordan块。 特征向量求解自 $(A - 4I){v} = 0$，可得基础特征向量 ${v}_1 = [1, 0, 0]^T$。 广义特征向量求解自 $(A - 4I)^2{v} = 0$ 和 $(A - 4I)^3{v} = 0$，得 ${v}_2 = [0, 1, 0]^T$ 和 ${v}_3 = [0, 0, 1]^T$。 则有 $P = [{v}_1, {v}_2, {v}_3]$ 和 Jordan 标准型 $J$ 为：

$$J = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$$

这样，矩阵 $P$ 就能将矩阵 $A$ 通过相似变换转换为其Jordan标准型 $J$。