最小多项式

最小多项式是满足 $m_A(A)=0$ 的次数最低的首一多项式。它整除特征多项式 $p_A(x)$，且与 $p_A(x)$ 有相同的根（即相同的特征值）。在指定数域 $F$ 上，矩阵可对角化当且仅当最小多项式在 $F$ 上分裂为互异一次因子的乘积。只说无重根还不够，例如实旋转矩阵的最小多项式 $x^2+1$ 无重根，但不能在实数域对角化。最小多项式用于计算矩阵高次幂、判断可逆性等。用它降次算 $A^n$ 的例子见不可对角化矩阵的幂。