正定二次型是指一个二次型$Q(x) = x^T A x$，其中矩阵$A$是正定矩阵。这意味着对于所有非零向量$x$，二次型$Q(x) > 0$。正定矩阵的特征值全为正数，且其行列式也大于零。

二次型

一个二次型可以表示为形式：

$$f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$$

这里 $\mathbf{x}$ 是一个 $n$ 维向量，$A$ 是一个与之相对应的 $n \times n$ 实对称矩阵。

正定二次型

二次型 $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ 被称为正定的，如果对于所有非零向量 $\mathbf{x}$，都有：

$$\mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0$$

此外，矩阵 $A$ 被称为正定矩阵。还有其他几种判断正定性的方法：

1. 特征值判定法：矩阵 $A$ 是正定的当且仅当其所有特征值都是正的。
2. 主子式判定法：矩阵 $A$ 的所有顺序主子式（从左上角开始的子矩阵的行列式）必须都是正的。
3. Cholesky 分解：如果实对称矩阵 $A$ 可以分解为 $A = L L^T$，其中 $L$ 是下三角矩阵，那么 $A$ 是正定的。

正定性的物理和几何含义

在物理学中，正定二次型常用于描述系统的稳定性和势能。例如，一个物理系统的势能通常被建模为一个正定的二次型，表示系统处于稳定状态。

在几何上，正定二次型定义了一个椭圆（二维）、椭球（三维）或更高维的类似结构，表明所有的变量都协同作用，没有负的贡献。

应用

在优化问题中，正定二次型的矩阵保证了目标函数是凸的，从而使问题可以找到全局最优解。在机器学习中，协方差矩阵通常假设为正定，这保证了数据的分布具有良好的数学性质。

因此，正定二次型在理论和应用中都非常重要，涉及矩阵理论、优化、统计分析和物理学等多个领域。