背景

在解析几何中,为了便于研究二次曲线

$$ax^2+bxy+cy^2=1$$

的几何性质,可以选择适合的旋转变换

$$\begin{cases} x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\ y=x'\sin\theta-y'\cos\theta \end{cases}\\$$

把方程化为标准型

$$mx'^2+ny'^2=1$$

从现代数学的观点看, 化为标准型的过程就是通过变量的线性变换化简一个二次齐次多项式, 使得它只有平方项. 将这类问题一般化, 即为二次型.

定义

定义

二次型是指一个二次齐次函数, 形如

$$Q(\vec{x}) = \vec{x}^T A \vec{x} = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n a_{ij} x_i x_j$$

其中${} \vec{x}$是一个$n$维列向量，$A$是一个对称的$n \times n$矩阵，$x^T$表示$x$的转置。

二次型通常表示为变量的二次多项式，可以用矩阵表示。 找到$\vec{x}$的过程即为对角化

性质

1. 对称性：矩阵$A$必须是对称矩阵，即$A = A^T$。
2. 正定性：如果对任意非零向量$x$，$Q(x) > 0$，则称二次型$Q(x)$是正定的。这等价于矩阵$A$是正定矩阵。
3. 半正定性：如果对任意非零向量$x$，$Q(x) \geq 0$，则称二次型$Q(x)$是半正定的。这等价于矩阵$A$是半正定矩阵。
4. 负定性：如果对任意非零向量$x$，$Q(x) < 0$，则称二次型$Q(x)$是负定的。这等价于矩阵$A$是负定矩阵。
5. 半负定性：如果对任意非零向量$x$，$Q(x) \leq 0$，则称二次型$Q(x)$是半负定的。这等价于矩阵$A$是半负定矩阵。

计算

任何一种二次的二元代数式都能化成二次型的形式。给定一个二次的二元代数式，如$3x^2+2xy+3y^2$，可以将其表示成二次型$x^T A x$的形式，其中$x$是变量向量，$A$是对应的系数矩阵。

考虑一般形式的二次二元代数式：

$$ax^2 + 2bxy + cy^2$$

可以将其表示为如下的矩阵形式：

$$x^T A x$$

其中$x = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$，$A$是对称矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & c \end{bmatrix}$$

对于$3x^2 + 2xy + 3y^2$，对应的系数矩阵$A$为：

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$

验证：

$$x^T A x = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 3x^2 + 2xy + 3y^2$$

因此，$3x^2 + 2xy + 3y^2$确实可以表示为$x^T A x$的形式，其中$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$。

示例

考虑一个二次型

$$Q(x) = 3x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$$

我们可以将其写成矩阵形式：

$$Q(x) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$$

(未完成)

应用

1. 优化理论：在二次规划问题中，目标函数通常是一个二次型。
2. 统计学：在多元统计分析中，二次型用于构建某些统计量，如马氏距离。
3. 机械工程：在结构分析和动力学中，二次型用于描述能量和稳定性。