1. 计算特征值
2. 计算特征向量
3. 判断对角化
4. 如果可以对角化
   1. 构造相似变换矩阵P
   2. 相似变换得到对角矩阵D
5. 如果不能对角化
   1. 构造[[Jordan块]]
   2. 求解[[广义特征向量]]
   3. 构造相似变换矩阵P
   4. 相似变换得到Jordan标准型$J$

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示例

可对角化

设矩阵$A$为:

$$A = \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

1. 计算特征值:

$$\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 & 2 \\ 0 & 3-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (4-\lambda)(3-\lambda)^2$$

特征值为$\lambda_1 = 4$, $\lambda_2 = 3$( 重根) . 2. 计算特征向量:

• 对于$\lambda_1 = 4$:

$$(A - 4I)v = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}v = 0 \implies v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$

• 对于$\lambda_2 = 3$:

$$(A - 3I)v = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}v = 0 \implies v_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

3. 判断能否对角化:

• 对于$\lambda_1 = 4$, 代数重数和几何重数均为1.
• 对于$\lambda_2 = 3$, 代数重数和几何重数均为2. 因此, 矩阵$A$可以对角化.

4. 构造相似变换矩阵$P$:

$$P = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

5. 相似变换得到对角矩阵$D$:

$$P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$

不能对角化的例子

设矩阵$B$为:

$$B = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$$

1. 计算特征值:

$$\det(B - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 5-\lambda & 4 \\ 2 & 3-\lambda \end{bmatrix} = \lambda^2 - 8\lambda + 7 = 0$$

特征值为$\lambda_1 = 4$ (重根) . 2. 计算特征向量:

• 对于$\lambda_1 = 4$:

$$(B - 4I)v = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}v = 0 \implies v = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}$$

只有一个特征向量. 3. 判断能否对角化:

• 对于$\lambda_1 = 4$, 代数重数为2, 几何重数为1. 由于$\lambda_1$的几何重数小于代数重数, 矩阵$B$不能对角化.

4. 构造Jordan块:

$$J = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$

5. 求解广义特征向量:

• 对于$\lambda_1 = 4$:

$$(B - 4I)^2v = 0$$

6. 构造相似变换矩阵$P$:

$$P = \begin{bmatrix} -4 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

相似变换得到Jordan标准型$J$:

$$P^{-1}BP = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}$$