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定义

行最简形式（Reduced Row Echelon Form, RREF）是一种特殊的行梯形形式，其中每个主元是1，并且是其所在列的唯一非零元素。这实际上是此矩阵中可能存在的最大单位矩阵,

RREF(C)=[IrFr×(n−r)O(m−r)×rO(m−r)×(n−r)] \text{RREF}(C) = \begin{bmatrix} I_r & F_{r\times (n-r)} \\ O_{(m-r)\times r} & O_{(m-r)\times (n-r)} \end{bmatrix}

其中：

  • IrI_r 是 rr 阶单位矩阵，rr 是矩阵 AA 的秩。
  • FF 是一个 r×(n−r)r \times (n-r) 矩阵，包含行最简形式中单位矩阵右侧的元素。
  • 下方的 (m−r)×n(m-r) \times n 部分是零矩阵，表示剩余的行都是线性相关的，不增加矩阵的秩。

通常使用初等行变换将矩阵化简为行最简形, 一种便于解析性质和求解线性方程组的形式。

条件

一个矩阵处于行最简形式（RREF）如果它满足以下条件：

  1. 主元为 1：
  2. 每个主元是其所在列的唯一非零元素
  3. 每一行的主元在前一行主元的右下方
  4. 所有非零行都在零行之上

数学表示

如果用公式表示，对于一个 m×nm \times n 的矩阵 AA，其行最简形式 RR 可以表示为：

R=RREF(A) R = \text{RREF}(A)

其中 RR 满足上述条件。行最简形式的一个关键性质是它的唯一性：对于任何给定的矩阵 AA，其行最简形式是唯一的。

计算

行最简形式通常通过高斯-约当消元法获得，该方法是高斯消元法的一个扩展，包括以下步骤：

  1. 前向消元（形成行阶梯形式）：

    • 选择最左侧的非零列（主列）。
    • 通过行交换使得该列的顶部元素非零。
    • 使用该主列顶部的元素将下方的所有元素消成 0。
    • 对矩阵的剩余部分重复此过程。

  2. 后向消元（形成行最简形式）：

    • 从底部非零行开始，使用每行的主元将其上方同列的所有元素消成 0。
    • 确保每个主元都是 1，如果不是，则通过缩放整行来实现。

示例

提供几个矩阵及其行最简形式（RREF）的例子，来展示如何通过行操作将标准矩阵转换为行最简形式。

示例1

A=[123246369]→RREF[123000000] A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} \xrightarrow{RREF} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

示例2

B=[03−664−53−78−5893−912−9615]→RREF[10−230−2401−220−7000014] B = \begin{bmatrix} 0 & 3 & -6 & 6 & 4 & -5 \\ 3 & -7 & 8 & -5 & 8 & 9 \\ 3 & -9 & 12 & -9 & 6 & 15 \end{bmatrix} \xrightarrow{RREF} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 3 & 0 & -24 \\ 0 & 1 & -2 & 2 & 0 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}

示例3

C=[111−1112−2123−3]→RREF[101−1011−10000] C = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 3 & -3 \end{bmatrix} \xrightarrow{RREF} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}