高斯消元法

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主要用于

这几种应用的本质都是通过初等行变换进行矩阵化简, 只是增广矩阵的构造和最终目标有所不同.

通用步骤:

求解逆矩阵

\left( \begin{array}{c|c} A&E \end{array} \right)\overset{\mbox{row}}{\longrightarrow}\left( \begin{array}{c|c} E&A^{-1} \end{array} \right)

Example

对于一个 $3 \times 3$ 矩阵 $A$ :

\left[ \begin{array}{ccc|ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1 \end{array} \right]

通过行变换将左侧的 $A$ 变成单位矩阵, 右侧将变为 $A^{-1}$ .

在高斯消元过程中, 如果当前列的主元(pivot)值为 0, 但其他行已被正确形式化, 而不能继续行加减, 此时需要行交换

将增广矩阵化简为上三角矩阵, 回代求解线性方程组

Example

考虑以下线性方程组：

\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x + 3y + 2z = 7 \\ 3x + y + 2z = 6 \\ \end{cases}

\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 2 & 6 \\ \end{array}\right]

\begin{align*} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & 6 \\ \end{array}\right] & = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & -1 & -6 \\ \end{array}\right]\\ & = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & -1 & -6 \\ \end{array}\right]\\ & = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ \end{array}\right]\\ & = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] \end{align*}\\

从第三行可以直接得到：

z = 1

将 $z = 1$ 代入第二行：

y + 0 \cdot z = 1 \implies y = 1

将 $y = 1$ 和 $z = 1$ 代入第一行：

x + 2(1) + 1 = 4 \implies x + 2 + 1 = 4 \implies x + 3 = 4 \implies x = 1

所以解为：

x = 1, \quad y = 1, \quad z = 1

Example

设矩阵 $A$ 为一个 $3 \times 4$ 矩阵：

A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 3 & -3 \end{bmatrix}

\text{RREF}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}