正交矩阵（Orthogonal Matrix）是一个方阵，其列向量和行向量都是正交的，并且每个向量的范数为1。对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $Q$，如果满足以下条件：

$$Q^T Q = Q Q^T = I$$

其中 $Q^T$ 是 $Q$ 的转置矩阵，$I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵，那么 $Q$ 就是一个正交矩阵。

性质

1. 逆矩阵：正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即 $Q^{-1} = Q^T$。
2. 列向量正交：正交矩阵的列向量彼此正交，即 $Q$ 的列向量满足 $q_i \cdot q_j = 0$（当 $i \neq j$ 时），并且每个列向量的范数为1，即 $\|q_i\| = 1$。
3. 行向量正交：正交矩阵的行向量彼此正交，即 $Q$ 的行向量满足 $q_i^T \cdot q_j^T = 0$（当 $i \neq j$ 时），并且每个行向量的范数为1，即 $\|q_i^T\| = 1$。
4. 保距性：正交矩阵保留向量的长度和内积，即对于任意向量 $x$ 和 $y$，有 $\|Qx\| = \|x\|$ 和 $(Qx) \cdot (Qy) = x \cdot y$。

举例

设 $Q$ 是一个 $2 \times 2$ 的矩阵(这实际上是一个旋转矩阵)：

$$Q = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$$

可以验证 $Q$ 是一个正交矩阵：

$$Q^T Q = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos^2 \theta + \sin^2 \theta & 0 \\ 0 & \cos^2 \theta + \sin^2 \theta \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$$

同样可以验证 $Q Q^T = I$。