高斯积分

定义

$$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$$

由被积函数为偶函数，正半轴上的积分为其一半：

$$\int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

推导

令 $I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \, dx$，平方后转为极坐标计算：

$$I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \, dr\,d\theta = 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi$$

其中径向积分 $\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r\,dr = \frac12\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du = \frac12$（令 $u=r^2$）。故 $I=\sqrt{\pi}$。

应用

1. 正态分布：在概率论中，高斯积分用于计算正态分布的概率密度函数。
2. 物理学：在量子力学和统计力学中，高斯积分用于求解路径积分和计算系统的配分函数。
3. 信号处理：在滤波器设计和分析中，高斯函数常用作窗口函数，高斯积分用于计算频域和时域之间的转换。