伽马函数

定义:

$$\Gamma(s)=\int^{+\infty}_{0}e^{-x}x^{s-1}dx \ (s>0)$$

$\Gamma(s)$的收敛性

$$\Gamma(s)=\int^{1}_{0}e^{-x}x^{s-1}dx+\int^{+\infty}_{1}e^{-x}x^{s-1}dx \overset{\Delta }{=}I_{1}+I_{2}$$

推论

1. 递推公式

$$\Gamma(s+1)=s\Gamma (s)$$

2. 正整数的递推公式

$$\Gamma(n+1)=n!$$

3. 当$s\to{0^+}$时, $\Gamma(s)\to+\infty$
4. 余元公式

$$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} \ (0<s<1)$$

5. 概率论中用于计算正态分布概率密度函数的高斯积分
   高斯积分

对实参数 $s$，在 $0<x<1$ 上有 $e^{-1}x^{s-1}\le e^{-x}x^{s-1}\le x^{s-1}$，故零点附近积分当且仅当 $s>0$ 收敛。对固定 $s$，充分大的 $x$ 满足 $x^{s-1}\le e^{x/2}$，无穷端由 $e^{-x/2}$ 控制。因此积分定义的实域恰为 $s>0$。

对 $s>0$ 分部积分，边界项 $[-x^se^{-x}]_0^\infty=0$，得到 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$。由 $\Gamma(1)=1$ 归纳得阶乘公式；又 $\Gamma(s)\ge e^{-1}\int_0^1x^{s-1}dx=e^{-1}/s$，证明 $s\to0^+$ 时发散。余元公式是另一个恒等式，其所列范围保证两边有限，不由这条递推单独推出。