积分技巧

求不定积分没有万能算法，关键在于识别被积函数的类型，并结合积分表中的基本公式选择合适的方法。本文按“遇到什么函数 → 用什么方法”的顺序整理一元积分常用技巧，各方法的细节见对应条目。

方法选择总览

被积函数特征	首选方法
能凑出 $f(g(x))g'(x)$（内层导数恰好在式中）	第一类换元（凑微分）
含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2\pm a^2}$	三角代换（第二类换元法）
两类不同函数相乘（幂×三角、幂×指数、幂×对数…）	分部积分法，按 ILATE 选 $u$
有理分式（多项式之比）	部分分式分解（有理分式、海维赛遮盖法）
含根式 $\sqrt[n]{ax+b}$、根式乘积	根式代换有理化（根式积分）
三角有理式 $R(\sin x,\cos x)$	辅助角/凑微分/万能代换（三角函数积分）
对称区间 $\int_a^b$（被积函数含对称结构）	区间再现

二次根式

含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$ 的积分，用三角代换把根号消去（见第二类换元法）：

$$\sqrt{a^2-x^2}\to x=a\sin t,\qquad \sqrt{x^2+a^2}\to x=a\tan t,\qquad \sqrt{x^2-a^2}\to x=a\sec t$$

换元后由 $\sin^2t+\cos^2t=1$、$1+\tan^2t=\sec^2t$、$\sec^2t-1=\tan^2t$ 把根号化为一次三角函数。

根式积分

对一般根式，核心思路是整体换元把根号消去（有理化），化为有理函数或基本积分：

• 只含 $\sqrt[n]{ax+b}$：令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$，则 $x=\frac{t^n-b}{a}$、$dx=\frac{n}{a}t^{n-1}dt$。
• 含多个根指数 $\sqrt[m]{ax+b}$、$\sqrt[n]{ax+b}$：令 $t=\sqrt[l]{ax+b}$，其中 $l=\operatorname{lcm}(m,n)$。
• 含分式线性根式 $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$：令 $t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$，反解 $x=\frac{b-dt^2}{ct^2-a}$ 后整体有理化。
• 一次因式乘积 $\sqrt{(x-a)(b-x)}$：令 $x-a=(b-a)\sin^2 t$，则 $b-x=(b-a)\cos^2 t$，根号内化为 $(b-a)^2\sin^2t\cos^2t$，完全开方消根。
• 根号内为二次式 $\sqrt{px^2+qx+r}$：先配方化为 $\sqrt{u^2\pm a^2}$ 或 $\sqrt{a^2-u^2}$，再回到上一节的三角代换。

示例：$\displaystyle\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}$。令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$、$dx=2t\,dt$，

$$\int\frac{dx}{1+\sqrt{x}}=\int\frac{2t}{1+t}\,dt=2\int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt=2t-2\ln|1+t|+C=2\sqrt{x}-2\ln(1+\sqrt{x})+C$$

有理分式

对 $\int\frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$，先化为真分式（$\deg P<\deg Q$）：若为假分式，先用多项式除法拆成"多项式 + 真分式"。再把分母 $Q(x)$ 在实数域分解为一次因式与二次不可约因式的乘积，真分式可唯一分解为部分分式之和：

• 一次因子 $(x-a)^k$ 对应 $\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k}$；
• 二次不可约因子 $(x^2+px+q)^k$ 对应 $\frac{B_1x+C_1}{x^2+px+q}+\cdots+\frac{B_kx+C_k}{(x^2+px+q)^k}$。

系数用待定系数法求解；分母为互异一次因子时可用海维赛遮盖法直接读出系数。分解后归结为四类基本积分：

$$\int\frac{A}{x-a}\,dx=A\ln|x-a|+C,\qquad \int\frac{A}{(x-a)^k}\,dx=\frac{A}{1-k}(x-a)^{1-k}+C\ (k>1)$$

$$\int\frac{Bx+C}{x^2+px+q}\,dx=\frac B2\ln(x^2+px+q)+\frac{2C-Bp}{\sqrt{4q-p^2}}\arctan\frac{2x+p}{\sqrt{4q-p^2}}+C$$

$$\int\frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^k}\,dx\ (k>1)：分子凑分母导数后递推降次$$

三角函数积分

对同角幂 $\int\sin^m x\cos^n x\,dx$：

• $m,n$ 有一个为奇数：拆出一个 $\sin x$（或 $\cos x$）作 $d$，令 $u=\cos x$（或 $u=\sin x$）凑微分。
• $m,n$ 均为偶数：用半角公式 $\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$、$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$ 降次。

对不同角乘积 $\sin ax\cos bx$ 等：用积化和差化为和差（见常见积分形式处理）。

对一般三角有理式 $R(\sin x,\cos x)$（如 $\int\frac{dx}{A\sin x+B\cos x}$），按由简到繁：

• 先试辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin(x+\phi)$，或凑微分把一项化进 $d$；
• 均不可行时用万能代换 $t=\tan\frac x2$：$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$、$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$、$dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}$，化为有理分式积分（计算量大，作最后手段）。

对称区间定积分

对 $\int_a^b f(x)\,dx$，用区间再现 $x\mapsto a+b-x$（King's Property）：

$$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx=\frac12\int_a^b\bigl[f(x)+f(a+b-x)\bigr]\,dx$$

当 $f(x)$ 与 $f(a+b-x)$ 相加能抵消复杂项时尤为有效，如 $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx=\frac\pi4$，见区间再现。

相关

• 分部积分中 $u$ 的选择原则见ILATE 规则；循环积分与递推见分部积分循环公式、沃利斯积分。
• 常见被积函数的直接结果与更多形式见常见积分形式处理。