多项式除法

多项式除法回答"一个多项式除以另一个多项式得到什么"：像整数除法那样求出商与余式。它是把有理根定理筛出的候选根落地为完整因式分解的核心运算工具。

需先掌握二项式定理（多项式的展开与合并同类项）与二次方程求根公式（因式分解的起点）。

定义

设 $f(x)$、$g(x)$ 为多项式且 $g(x)\neq 0$，则存在唯一的多项式 $q(x)$、$r(x)$ 满足

$$f(x)=q(x)g(x)+r(x),\qquad \deg r<\deg g\ \text{或}\ r=0$$

称 $q(x)$ 为商、$r(x)$ 为余式；当 $r=0$ 时称 $g(x)$ 整除 $f(x)$，记 $g(x)\mid f(x)$。

长除法步骤：按降幂排列，每次用被除式的最高次项除以除式的最高次项得到商的一项，乘回除式后相减，重复至余式次数低于除式为止。

性质

• 余数定理：$f(x)$ 除以 $x-a$ 的余式为 $f(a)$
• 因式定理：$f(a)=0 \iff x-a$ 是 $f(x)$ 的因式
• 综合除法：除以首一一次因式 $x-a$ 时可只对系数做加乘运算快速得商与余式
• 辗转相除：对两个多项式反复做除法可求其最大公因式（多项式欧几里得算法）

示例

求 $(2x^3+3x^2-8x+3)\div(x-1)$：

1. $2x^3\div x=2x^2$，$(2x^2)(x-1)=2x^3-2x^2$，相减余 $5x^2-8x+3$
2. $5x^2\div x=5x$，$(5x)(x-1)=5x^2-5x$，相减余 $-3x+3$
3. $-3x\div x=-3$，$(-3)(x-1)=-3x+3$，相减余 $0$

故 $(2x^3+3x^2-8x+3)=(x-1)(2x^2+5x-3)$，与有理根定理示例中 $x=1$ 是根的结果一致。

应用

• 因式分解与降次：有理根定理筛出候选根后，用除法检验整除并逐步降低次数
• 解方程：分离出一次因式后，把高次方程化为低次方程
• 有理函数积分：部分分式分解前先做除法，把假分式化为"多项式 + 真分式"