海维赛遮盖法

海维赛遮盖法用于快速确定积分技巧中有理分式部分分式分解的系数。

注意

这不是留数定理, 留数定理属于复分析求积分相关内容

有以下分式, 其中 $a,b$ 已知且 $a\ne b$, 对其因式分解

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}$$

则有$A=\frac{1}{a-b}$ , 也就是令 $x=a$ 带入原式去掉 $(x-a)$ 后剩下的部分:

$$A=\frac{1}{(x_A-b)}=\frac{1}{a-b}$$

$$B=\frac{1}{(x_B-a)}=\frac{1}{b-a}$$

$x_A$, $x_B$ 分别由$A,B$下方的根式 $x-a=0$, $x-b=0$ 决定.

推广

$$\frac{1}{(ax-b)^m(cx-d)^n}=\sum_{i=1}^{m} \frac{A_i}{(ax-b)^i}+\sum_{j=1}^{n} \frac{B_j}{(cx-d)^j}$$

最高次项系数可由遮盖法直接求出：

$$A_m=\frac{1}{(cx-d)^n}\bigg|_{x=\frac{b}{a}}, \qquad B_n=\frac{1}{(ax-b)^m}\bigg|_{x=\frac{d}{c}}$$

$x$ 由 $A$ 下方的根式 $ax-b=0$ 决定.
低次项不能只靠一次代入求出，但可以用求导或待定系数法，不限于逐项试值。推广式要求 $a,c\ne0$、$b/a\ne d/c$，$m,n$ 为正整数。

示例

例1

$$\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}=\frac{A_1}{(x-1)}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{B}{(x-2)}$$

由上述公式得

$$A2=\frac{1}{(x_{A_2}-2)}=\frac{1}{1-2}=-1$$

$$B=\frac{1}{(x_{B_2}-1)^2}=\frac{1}{(2-1)^2}=1$$

取 $x=0$（避开极点），得 $-1/2=-A_1-1-1/2$，故 $A_1=-1$。代回通分即可核对整个恒等式。

例2

$$\frac{1}{(x^2-x+1)(x-1)}=\frac{Ax+B}{(x^2-x+1)}+\frac{C}{(x-1)}$$

$$C=\frac{1}{x_C^2-x_C+1}=\frac{1}{1^2-1+1}=1$$

再带入两个$x$的特值可得$A=-1$, $B=0$ ,$C=1$

对一般有理式 $R(x)$ 在 $x_0=b/a$ 的 $m$ 重极点，令 $h(x)=(ax-b)^mR(x)$，则

$$A_i=\frac{h^{(m-i)}(x_0)}{(m-i)!a^{m-i}},\qquad i=1,\ldots,m.$$

这是把正则函数 $h$ 在 $x_0$ 作有限 Taylor 展开的系数比较；非首一因子带来的 $a^{m-i}$ 不可遗漏。