实数的完备性

本章以实数的上确界性质为公理起点。它保证“任意逼近”得到的候选极限仍在实数中；下面从这一点证明闭区间套和有界数列的收敛子列，供单调有界准则、柯西极限存在准则及连续函数定理复用。

上确界性质

设非空集合 $S\subseteq\mathbb R$ 有上界。它的上确界 $s=\sup S$ 是最小上界，等价地满足：

• 对所有 $x\in S$，有 $x\le s$；
• 对每个 $\varepsilon>0$，存在 $x\in S$ 使 $s-\varepsilon<x$。

实数完备性公理

每个非空、有上界的实数集合都有实数上确界。

若有下界，则由 $\inf S=-\sup(-S)$ 得到下确界。上确界不一定属于原集合：$(0,1)$ 的上确界是 $1$，却没有最大值；$[0,1]$ 的上确界也是 $1$，且它就是最大值。因此有界性本身不能代替最值定理的取到结论。

上确界性质还推出自然数无上界：若 $s=\sup\mathbb N^+$ 存在，取 $n>s-1$，则自然数 $n+1>s$，矛盾。这是阿基米德性质，保证能选足够大的 $n$ 使 $1/n<\varepsilon$，也保证 $2^{-n}\to0$（例如 $2^n\ge n+1$）。

闭区间套

设非空有限闭区间 $I_n=[a_n,b_n]$ 满足 $I_{n+1}\subseteq I_n$，且 $b_n-a_n\to0$。则所有区间恰有一个公共点 $c$。

证明：$\{a_n:n\ge1\}$ 非空且以 $b_1$ 为上界，令 $c=\sup_n a_n$。固定 $n$，对 $k\le n$ 有 $a_k\le a_n\le b_n$；对 $k>n$ 由嵌套有 $a_k\le b_k\le b_n$。所以 $a_n\le c\le b_n$，即 $c\in I_n$。若 $c,d$ 都在每个区间内，则 $|c-d|\le b_n-a_n\to0$，故 $c=d$。

闭性和长度条件职责不同：$(0,1/n)$ 嵌套但没有公共点；恒取 $[0,1]$ 则公共点不唯一。

有界数列的收敛子列

Bolzano–Weierstrass 定理

每个有界实数列都有收敛子列；若原数列属于 $[a,b]$，子列极限也属于 $[a,b]$。

把包含全部项的闭区间二等分，至少一个半区间包含无限多个指标对应的数列项。保留这个半区间，再反复二分，得到长度趋零的闭区间套 $I_k$。这里数的是指标，即使所有项数值相同，仍可能有无限多项。由上一节有唯一公共点 $c$。

在 $I_k$ 内依次选取 $x_{n_k}$，且要求 $n_k>n_{k-1}$；无限多个可选指标保证这一步可行。因为 $x_{n_k},c\in I_k$，所以 $|x_{n_k}-c|\le\operatorname{length}(I_k)\to0$，子列收敛。这个证明没有使用最值定理或一致连续性，因此可以用它继续证明那些结论。

有界性只保证子列收敛，不保证全列收敛：$(-1)^n$ 的偶数项与奇数项分别趋于 $1$ 和 $-1$。反之，若一个有界数列的每个收敛子列都趋于同一个 $L$，则全列趋于 $L$：否则存在 $\varepsilon_0>0$ 及无限多个项满足 $|x_n-L|\ge\varepsilon_0$；从这些项再抽取收敛子列，其极限仍与 $L$ 相距至少 $\varepsilon_0$，矛盾。

与其他完备性表述的关系

这里的起点是实数的有序域结构和上确界公理，不试图在本页从集合构造实数。由收敛子列可证明实数柯西列收敛，详见柯西极限存在准则。更一般空间中的收敛子列性质见紧致性；不能把“有界必有收敛子列”直接推广到所有无限维空间。

例如取 $q_n=\lfloor10^n\sqrt2\rfloor/10^n\in\mathbb Q$，则 $0\le\sqrt2-q_n<10^{-n}$。它是有理数柯西列，但在 $\mathbb Q$ 内没有极限，因为它在实数中的唯一极限 $\sqrt2$ 不属于 $\mathbb Q$。这说明收敛还必须说明所在空间。

定理范围可对照 Jiří Lebl《Basic Analysis》中的 Bolzano–Weierstrass 定理；本页采用闭区间二分证明，后续各页直接链接上述本地推导。