一致连续性

一致连续性

一致连续性是比一般连续性更严格的条件。它不仅要求函数在某点附近连续，还要求函数在整个定义域内的连续性具有一致的标准。

定义

设 $f:D\to\mathbb R$，其中 $D\subseteq\mathbb R$。如果对于任意的 $\epsilon > 0$，存在一个 $\delta > 0$ 使得对任意的 $x, y \in D$，只要满足 $|x - y| < \delta$，就有 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$，则称 $f$ 在 $D$ 上一致连续。
用数学符号表示为：

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in D, \text{if } |x - y| < \delta \text{ then } |f(x) - f(y)| < \epsilon$$

性质

1. 闭区间上的充分条件：
   如果函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f$ 在该闭区间上一致连续。证明使用闭区间的收敛子列性质，见下文；仅有连续且有界不够。
2. 与连续性的区别：
   • 连续性：对于任意 $\epsilon > 0$，在每个点 $x$ 附近都存在一个 $\delta$，使得 $|x - y| < \delta$ 推出 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$。
   • 一致连续性：存在一个统一的 $\delta$，适用于定义域内的所有点。
3. 一致连续函数的特性：
   • 若 $D\subseteq\mathbb R$ 有界，且 $f$ 在 $D$ 上一致连续，则 $f$ 在 $D$ 上有界；无界域上不成立，例如 $f(x)=x$ 在实轴一致连续却无界。
   • 在无限区间上的某些函数可能连续但不一致连续。例如，函数 $f(x) = x^2$ 在 ${R}$ 上连续但不一致连续。

例子

1. 线性函数：$f(x) = mx + b$ 在 ${R}$ 上一致连续。因为对于任意的 $\epsilon > 0$，当 $m\ne0$ 时可以选择 $\delta=\epsilon/|m|$；$m=0$ 时任取 $\delta>0$，这样 $|x - y| < \delta$ 就会保证 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$。
2. 正弦函数：$f(x) = \sin(x)$ 在 ${R}$ 上一致连续。因为正弦函数的导数 $\cos(x)$ 有界（绝对值不超过1），可以选择 $\delta = \epsilon$。

闭区间上的证明

若连续的 $f:[a,b]\to\mathbb R$ 不一致连续，则存在固定 $\varepsilon_0>0$，对每个 $n$ 可取 $x_n,y_n\in[a,b]$，使

$$|x_n-y_n|<1/n,\qquad |f(x_n)-f(y_n)|\ge\varepsilon_0.$$

由实数的完备性，有 $x_{n_k}\to c\in[a,b]$。又 $|y_{n_k}-c|\le|y_{n_k}-x_{n_k}|+|x_{n_k}-c|\to0$，所以 $y_{n_k}\to c$。连续性给 $f(x_{n_k}),f(y_{n_k})\to f(c)$，它们的差趋于零，与上述固定下界矛盾。

这个 Heine–Cantor 定理的条件和证明亦可对照 Jiří Lebl《Basic Analysis》§3.4。有界性用于抽子列，闭性用于让极限点仍在定义域，连续性用于控制函数值。

判定与否定的方法

一致连续的否定形式为

$$\exists\varepsilon_0>0,\ \forall\delta>0,\ \exists x,y\in D:\ |x-y|<\delta,\ |f(x)-f(y)|\ge\varepsilon_0.$$

因此只需构造两列 $x_n,y_n\in D$，使 $|x_n-y_n|\to0$，但函数值差不趋于零，就能否定一致连续。反过来，不一致连续总能按上一节选出这样的两列。

证明一致连续则要给出独立于位置的误差控制。例如若 $|f(x)-f(y)|\le K|x-y|^\alpha$，其中 $K>0$、$\alpha>0$ 固定，则可取 $\delta=(\varepsilon/K)^{1/\alpha}$。对 $f(x)=\sqrt x$、$x,y\ge0$，有

$$|\sqrt x-\sqrt y|^2\le|x-y|,$$

所以 $\delta=\varepsilon^2$ 对整个半轴有效。它在正半轴的导数 $1/(2\sqrt x)$ 无界，说明有界导数是区间上一致连续的充分条件，并非必要条件。更细的同域与变域比较见连续与收敛的量词辨析。

有界定义域上的有界性

设非空 $D\subseteq\mathbb R$ 有界，$f$ 在 $D$ 上一致连续。对函数值误差 $1$ 选取统一 $\delta>0$，把包含 $D$ 的有限区间分为有限个长度小于 $\delta$ 的小段。每个与 $D$ 相交的小段取代表点 $t_j\in D$。任意 $x\in D$ 与某个同段代表点距离小于 $\delta$，故

$$|f(x)|\le|f(t_j)|+1\le\max_j|f(t_j)|+1.$$

于是 $f$ 有界。这里只得到界，不保证界在 $D$ 中取到；例如 $f(x)=x$ 在 $(0,1)$ 一致连续却没有最大值。无界域上的结论不成立，如实轴上的恒等函数。