极限存在准则

本页组织夹逼、单调有界和柯西三种判据。它们解决的问题不同：夹逼把未知极限压到已知值；单调有界先保证存在；柯西准则不要求先知道极限值。

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准则1:夹逼准则

若 $x\in \mathring{U}(x_{0},r)$或$|x|>M$时, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$
且 $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0}/\infty }g(x)=\lim_{ x \to x_{0}/\infty }h(x)=A$
则$\displaystyle \lim_{ x \to x_{0}/\infty }f(x)=A$ , 极限存在

根据准则1, 可推导出第一个重要极限

$$\lim _{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$$

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准则2:单调有界准则

单调有界实数列必收敛；单调函数在区间端点存在相应的有限单侧极限，见 单调有界准则。

根据准则2, 可推导出第二个重要极限:

$$\lim _{x \to \infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^x=e$$

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柯西极限存在准则

数列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是:
对于任意给定的 $\varepsilon > 0$ ,存在正整数N, 使得当 $m>N, n>N$ 时, 有

$$|x_n-x_m|<\varepsilon$$

怎样选择判据

若容易把误差夹在趋零量之间，先试夹逼；若给出递推式，先证明有界与单调，再解极限方程；若只容易控制两个远处项的距离，用柯西准则。仅证明“有界”或“相邻项差趋零”都不够。

三种准则的证明分别放在对应知识页。存在性的公共前提见实数的完备性；数列与函数的转换使用函数极限，不能仅检查几条路径就宣布函数极限存在。