定义

$$\lim _{x \to \infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^x=e$$

令 $a_n=(1+1/n)^n$。由 二项式定理，

$$a_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac jn\right).$$

随 $n$ 增大，原有的非负项不减且增加一项，故 $a_n$ 单调递增；又 $a_n\le\sum_{k=0}^n1/k!<3$，可用 $k!\ge2^{k-1}$（$k\ge1$）估计。因此由 单调有界准则 存在有限极限，这也是自然对数底数 $e$ 的一种定义。

推广到实数 $x\to+\infty$，取整数 $n\le x<n+1$，则

$$a_{n+1}^{n/(n+1)}\le(1+1/x)^x\le a_n^{(n+1)/n}.$$

两端同趋于 $e$，夹逼得到实变量极限。

推论1

$$\lim _{x \to -\infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^x=e$$

证明1

可把下式夹在 $(1+1/(y-1))^{y-1}$ 与其乘上趋于 1 的因子之间，具体分解见下一种证明。

证明2

当考虑 $x \to -\infty$ 时，我们通过令 $y = -x$ 来转换问题。因为当 $x$ 趋于负无穷大时，$y$ 趋于正无穷大。所以原极限变为：

$$\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-y}$$

为了利用基本极限，我们将表达式稍作变换：

$$\left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-y} = \left(\frac{y - 1}{y}\right)^{-y} = \left(\frac{y}{y - 1}\right)^{y} = \left(1 + \frac{1}{y - 1}\right)^{y}$$

当 $y\to+\infty$，将 $(1+1/(y-1))^y$ 写成 $(1+1/(y-1))^{y-1}(1+1/(y-1))$，两个因子分别趋于 $e$ 和 1。因此：

$$\lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y - 1}\right)^{y} = e$$

这样，我们证明了即使在 $x \to -\infty$ 的情况下，极限 $\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ 也等于 $e$。

推论2

$$\lim _{x \to \infty} \Big( 1 - \frac{1}{x}\Big)^x =\lim _{x \to \infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^{-x} =\lim _{x \to -\infty} \Big( 1 - \frac{1}{x}\Big)^x =\frac{1}{e}$$

证明

根据推论1 换元$t=-x$ 可证

$$\lim_{ x \to \infty } (1-\dfrac{1}{x})^{x}=\lim_{ t \to -\infty } (1+\dfrac{1}{t})^{-t}=\lim_{ t \to -\infty } \dfrac{1}{(1+\dfrac{1}{t})^{t}}=\dfrac{1}{e}$$

Tip

内外同号则为$e$，异号为$\frac{1}{e}$, $x$趋近于$±\infty$没影响