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定义

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定义

lim⁡x→∞(1+1x)x=e \lim _{x \to \infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^x=e

证明使用牛顿二项式定理, 比较xnx_{n}与xn+1x_{n+1}, 再使用单调有界准则

推论1

lim⁡x→−∞(1+1x)x=e \lim _{x \to -\infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^x=e

证明1

  1. 根据夹逼定理可证

证明2

当考虑 x→−∞x \to -\infty 时，我们通过令 y=−xy = -x 来转换问题。因为当 xx 趋于负无穷大时，yy 趋于正无穷大。所以原极限变为：

lim⁡x→−∞(1+1x)x=lim⁡y→∞(1−1y)−y \lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = \lim_{y \to \infty} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-y}

为了利用基本极限，我们将表达式稍作变换：

(1−1y)−y=(y−1y)−y=(yy−1)y=(1+1y−1)y \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{-y} = \left(\frac{y - 1}{y}\right)^{-y} = \left(\frac{y}{y - 1}\right)^{y} = \left(1 + \frac{1}{y - 1}\right)^{y}

当 y→∞y \to \infty，y−1y - 1 也趋于无穷大。因此我们可以应用基本极限：

lim⁡y→∞(1+1y−1)y=e \lim_{y \to \infty} \left(1 + \frac{1}{y - 1}\right)^{y} = e

这样，我们证明了即使在 x→−∞x \to -\infty 的情况下，极限 lim⁡x→−∞(1+1x)x\lim_{x \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x 也等于 ee。

推论2

lim⁡x→∞(1−1x)x=lim⁡x→∞(1+1x)−x=lim⁡x→−∞(1−1x)x=1e \lim _{x \to \infty} \Big( 1 - \frac{1}{x}\Big)^x =\lim _{x \to \infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^{-x} =\lim _{x \to -\infty} \Big( 1 - \frac{1}{x}\Big)^x =\frac{1}{e}

证明

根据推论1 换元t=−xt=-x 可证

lim⁡x→∞(1−1x)x=lim⁡t→−∞(1+1t)−t=lim⁡t→−∞1(1+1t)t=1e \lim_{ x \to \infty } (1-\dfrac{1}{x})^{x}=\lim_{ t \to -\infty } (1+\dfrac{1}{t})^{-t}=\lim_{ t \to -\infty } \dfrac{1}{(1+\dfrac{1}{t})^{t}}=\dfrac{1}{e}

Tip

内外同号则为ee，异号为1e\frac{1}{e}, xx趋近于±∞±\infty没影响