极限存在准则

以下是判定极限存在的两个准则,以及作为应用准则的例子

---

夹逼准则

若 $x\in \mathring{U}(x_{0},r)$或$|x|>M$时, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ 且 $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0}/\infty }g(x)=\lim_{ x \to x_{0}/\infty }h(x)=A$ 则$\displaystyle \lim_{ x \to x_{0}/\infty }f(x)=A$ , 极限存在

根据准则1, 可推导出第一个重要极限

$$\lim _{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$$

---

单调有界准则

单调有界函数/数列必有极限

根据准则2, 可推导出第二个重要极限:

$$\lim _{x \to \infty} \Big( 1 + \frac{1}{x}\Big)^x=e$$

---

柯西极限存在准则

数列 $\{x_n\}$ 收敛的充分必要条件是: 对于任意给定的正数 $\epsilon$ ,存在正整数N, 使得当 $m>N, n>N$ 时, 有 $$|x_n-x_m|<\epsilon$$