单调有界准则

定义

单调有界的实数列收敛于有限实数。单调函数的相应结论针对区间端点的单侧极限，不保证内点的左右极限相等。

单调有界准则是数列收敛的充分不必要条件

推广

设函数$f(x)$在点$x_{0}$的某个左邻域内单调有界,则$f(x)$在$x_{0}$的左极限$f(x_{0}^-)$必定存在
设函数$f(x)$在点$x_{0}$的某个右邻域内单调有界,则$f(x)$在$x_{0}$的右极限$f(x_{0}^+)$必定存在

若实数列单调递增且有上界，令 $L=\sup_n x_n$。对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使 $L-\varepsilon<x_N\le L$，单调性保证 $n\ge N$ 时同样成立，故 $x_n\to L$。递减情形使用下确界。这一步依赖实数的完备性。

递推数列的使用步骤

考虑 $a_1=1$、$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$。先归纳证明 $1\le a_n<2$；在此区间内

$$2+a_n-a_n^2=(2-a_n)(a_n+1)>0,$$

故 $a_{n+1}>a_n$。由单调有界准则，极限 $L$ 存在。此时才可利用平方根的连续性令 $L=\sqrt{2+L}$，得 $(L-2)(L+1)=0$；又 $L\ge1$，故 $L=2$。

先证明存在，再解极限方程。仅解出 $L$ 的候选值不能证明收敛，例如 $b_{n+1}=1-b_n$、$b_1=0$ 的候选方程给 $L=1/2$，实际数列却在 $0,1$ 之间振荡。