极限运算法则

简介

先由极限定义证明四则运算法则，再把其中的可加性与齐次性概括为线性泛函。线性是这些法则的结构性总结，不能循环地用“它是线性的”代替证明。

线性泛函

在这之前提到过：
极限概述
这一角度有助于联系线性代数；初学者可先读下面的四则运算和误差估计。

极限运算的线性性

极限运算满足以下两条性质：

1. 可加性：

   $$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$$

2. 齐次：

   $$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$$

这两条性质合起来称为线性性，即极限运算是一个线性泛函。

极限运算的数学表述

极限的线性性

设 $\lim_{x \to a} f(x) = A$，$\lim_{x \to a} g(x) = B$，且 $c$ 为常数，则：

1. 可加性：

$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = A + B$$

2. 齐次性：

$$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot A$$

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四则运算

设同一趋近过程中存在有限极限 $\lim f(x)=A$、$\lim g(x)=B$，则：

1. 线性组合

$$\lim [\alpha f+\beta g] = \alpha A + \beta B \quad (\alpha,\beta\in\mathbb{R})$$

2. 乘法法则

$$\lim [f(x)\cdot g(x)] = A \cdot B$$

3. 除法法则（当$B \neq 0$时）

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$$

计算示例

$\lim_{x\to2}(3x^2-5) = 3(\lim x)^2 -5 = 3\cdot4-5=7$

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非线性运算

幂指函数

当$A>0$时：

$$\lim [f(x)]^{g(x)} = A^B$$

根式运算

偶数次实根要求 $f(x)$ 在所讨论的趋近域内非负；奇数次实根无此限制。

$$\lim \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{A} \quad (n\in\mathbb{N}^+)$$

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复合运算

复合函数极限

若$f$在$u=A$连续：

$$\lim f(g(x)) = f(\lim g(x))$$

不连续情形处理

若 $g(x)\to A$ 且在去心邻域内 $g(x)\ne A$，并且 $\lim_{u\to A}f(u)=L$ 存在，则复合极限为 $L$。若 $g$ 反复取到 $A$，还需核对 $f(A)$；例如 $g\equiv A$ 时复合函数恒为 $f(A)$，不能直接用去心极限代替。

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无穷小运算

设$\alpha(x),\beta(x)$为同一过程的无穷小：

运算类型	结果性质	示例
$\alpha \pm \beta$	保持无穷小	$x^2 \pm x^3$当$x\to0$
$\alpha\cdot\text{有界量}$	无穷小	$x\cdot\sin(1/x)$当$x\to0$
$\alpha=o(\beta)$	$\alpha+\beta \sim \beta$	$x^3+x \sim x$当$x\to0$

典型等价关系

当$x\to0$时：

$$\sin x \sim x,\quad \tan x \sim x,\quad e^x-1 \sim x$$

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注意事项

1. 存在性前提

和、积、商的上述代入法则要求相应有限极限存在；单个因子无极限并不推出乘积无极限。例如由有界量乘无穷小：

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin(1/x)}{1/x}=\lim_{x\to0}x\sin(1/x)=0.$$

2. 极限交换条件

累次极限不可随意交换：

$$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}\frac{x^2}{x^2+y^2} = 1 \neq \lim_{y\to0}\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2+y^2} = 0$$

3. 零分母处理

当$\lim g(x)=0$时：

• 若 $f\to A\ne0$、$g\to0$ 且 $g$ 在去心邻域非零，则 $|f/g|\to\infty$；有符号极限还取决于分母符号，例如 $1/x$ 在零点的双侧极限不存在。
• 若 $f\to0$，得到 $0/0$ 未定式，可用代数化简、夹逼、等价无穷小、泰勒公式，或在条件满足时使用洛必达法则。

四则法则的误差证明

沿同一趋近过程设 $f\to A$、$g\to B$，均为有限极限。加法由

$$|(f+g)-(A+B)|\le|f-A|+|g-B|$$

得到：让两项各小于 $\varepsilon/2$ 即可。常数乘法直接使用 $|cf-cA|=|c||f-A|$；$c=0$ 时结论立即成立。

乘法先用 $f\to A$ 得到最终 $|f|\le|A|+1$，再估计

$$|fg-AB|\le|f||g-B|+|B||f-A|.$$

分别控制 $|g-B|<\varepsilon/[2(|A|+1)]$ 与 $|f-A|<\varepsilon/[2(|B|+1)]$，就使总误差小于 $\varepsilon$。

若 $B\ne0$，先保证 $|g-B|<|B|/2$，则 $|g|>|B|/2$，商在最终邻域内有定义，且

$$\left|\frac1g-\frac1B\right|=\frac{|g-B|}{|g||B|}\le\frac{2}{|B|^2}|g-B|\to0.$$

再用乘法法则证明 $f/g\to A/B$。这解释了分母极限非零的条件具体用于哪一步。