极限运算属于线性函数运算 极限的运算满足加法封闭性和可乘性

1. 可加性：对于任意实数 $x$ 和 $y$，如果函数 $f(x)$ 和 $f(y)$ 的极限都存在，那么 $f(x) + f(y)$ 的极限也存在，并且有 $$\lim_{x \to a} [f(x) + f(y)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{y \to a} f(y)$$
2. 可乘性：对于任意实数 $c$ 和 $x$，如果函数 $f(x)$ 的极限存在，那么 $c \cdot f(x)$ 的极限也存在，并且有 $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot f(y)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{y \to a} f(y)$$

极限与极限的运算(不考)

极限运算属于拓扑代数结构。满足交换律和结合律

1. 交换律：如果函数 $f(x)$ 在某个点 $x_0$ 的附近有定义，那么极限运算满足交换律，即$$\lim_{x \to x_0} \lim_{y \to x_0} f(x, y) = \lim_{y \to x_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y)$$
2. 结合律：对于多个函数的极限运算，满足结合律，即 $$\lim_{x \to x_0} \left(\lim_{y \to x_0} f(x, y)\right) = \lim_{y \to x_0} \left(\lim_{x \to x_0} f(x, y)\right)$$

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同济版

1. 两个无穷小的和是无穷小 推论：有限个无穷小之和也是无穷小

2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2：有限个无穷小的乘积是无穷小

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究极废话版

1. 常数乘法法则：

$$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$$

2. 和差法则：

$$\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$$

$$\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$$

3. 乘法法则：

$$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$$

4. 除法法则：

\displaystyle\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)}{\displaystyle\lim_{x \to a} g(x)}$$ 其中 $$\lim_{x \to a} g(x) \neq 0

5. 乘幂法则：

\lim_{x \to a} [f(x)^n] = [\lim_{x \to a} f(x)]^n$$其中 $n$ 是常数。 ## 6. **根式法则**： - $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)}$，其中 $n$ 是正整数。 ## 7. **复合函数极限法则**： - $\lim_{x \to a} f[g(x)] = \lim_{x \to a} f(u) \quad \text{(当} \lim_{x \to a} g(x) = u \text{存在时)}$。 ## 8. **极限的乘积与商的性质**： 若 $$\lim_{x \to a} f(x) = A,\lim_{x \to a} g(x) = B$$ 则： $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$$$$\lim_{x \to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{A}{B}$$其中 $B \neq 0$。