连续性

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连续性

简介

连续性是函数的一种基本性质，直观地描述了函数图像没有“中断”或“跳跃”。“一笔画出”只是一种粗略直观，严格判定应使用下列极限或量词定义。这一概念是微分学乃至整个微积分学的基石。

定义

点的连续性 (Continuity at a Point)

先设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义。此时函数在 $x_0$ 连续，有以下三种等价的定义形式：

极限形式 (常用)：当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，函数的极限等于其在该点的函数值。 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
增量形式：当自变量的增量 $\Delta x$ 趋于 $0$ 时，函数值的增量 $\Delta y$ 也趋于 $0$ 。 $\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$
$\varepsilon-\delta$ 语言 (严谨)：对于 $\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta>0$ ，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 。

对一般定义域 $D\subseteq\mathbb R$ ，要求 $x_0\in D$ ，并将量词定义中的 $x$ 限制为 $x\in D$ 。在孤立点可以选足够小的邻域，使其中只有 $x_0$ ，所以函数自动连续；这里不应要求一个唯一的去心极限。极限形式用于 $x_0$ 同时是聚点的情形，端点采用相对定义域的单侧极限，见函数极限。

连续性的序列判据是：对每个 $x_n\in D$ 且 $x_n\to x_0$ ，都有 $f(x_n)\to f(x_0)$ 。证明沿用函数极限，此时允许 $x_n=x_0$ ；若连续性不成立，选 $|x_n-x_0|<1/n$ 而函数值误差至少为固定 $\varepsilon_0$ ，就得到反例数列。

区间连续性 (Continuity on an Interval)

如果函数在区间的每一点都连续，则称函数在该区间上连续。对于闭区间 $[a,b]$ ，还需要满足在左端点 $a$ 右连续，在右端点 $b$ 左连续。

间断点及其分类

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 不连续，则称 $x_0$ 为函数的间断点。间断点主要分为两类：

第一类间断点

在该点的左、右极限 $f(x_0^-)$ 和 $f(x_0^+)$ 均存在且有限。

可去间断点：左、右极限相等，但不等于该点的函数值或该点无定义。若该点有定义，即极限不等于点值；若无定义，则可用极限值补定义使其连续。
跳跃间断点：左、右极限不相等。即 $f(x_0^-) \neq f(x_0^+)$ 。

第二类间断点

左、右极限中至少有一个没有有限值（包括趋于正负无穷或振荡）。

无穷间断点：当 $x \to x_0$ 时，极限为 $\infty$ 。
振荡间断点：当 $x \to x_0$ 时，函数值在特定范围内反复振荡，没有确定极限。

性质

连续函数在闭区间上表现出一些非常重要的整体性质，是微积分中许多关键定理的基础。
最值定理

零点定理

介值定理

运算性质

四则运算：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是连续函数。
复合函数：连续函数的复合函数在其定义域内仍然连续。
反函数：区间上的严格单调连续函数，其反函数在像区间上连续（端点采用相对定义域）。
初等函数：所有初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及它们的有限次四则运算和复合）在其定义域内都是连续的。

一致连续性 (Uniform Continuity)

一致连续是比普通连续更强的概念，它描述了函数在整个区间上“一致地”连续。

定义

一致连续性

与连续的区别

普通连续： $\delta$ 的取值不仅与 $\varepsilon$ 有关，还可能与点 $x_0$ 的位置有关。在函数的“陡峭”部分，可能需要非常小的 $\delta$ 。
一致连续： $\delta$ 的取值只与 $\varepsilon$ 有关，与点的具体位置无关。一个 $\delta$ 就可以适用于整个区间。