连续性

简介

连续性是函数的一种基本性质，直观地描述了函数图像没有“中断”或“跳跃”。如果一个函数的图像可以用一笔画出，没有任何间断，那么它就是连续的。这一概念是微分学乃至整个微积分学的基石。

定义

点的连续性 (Continuity at a Point)

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义。函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续，有以下三种等价的定义形式：

1. 极限形式 (常用)：当 $x$ 趋近于 $x_0$ 时，函数的极限等于其在该点的函数值。

   $$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$$

2. 增量形式：当自变量的增量 $\Delta x$ 趋于 $0$ 时，函数值的增量 $\Delta y$ 也趋于 $0$。

   $$\lim_{\Delta x \to 0} \Delta y = \lim_{\Delta x \to 0} [f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)] = 0$$

3. $\epsilon-\delta$ 语言 (严谨)：对于任意给定的正数 $\epsilon$，总存在一个正数 $\delta$，使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - f(x_0)| < \epsilon$。

区间连续性 (Continuity on an Interval)

如果函数在区间的每一点都连续，则称函数在该区间上连续。对于闭区间 $[a,b]$，还需要满足在左端点 $a$ 右连续，在右端点 $b$ 左连续。

间断点及其分类

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 不连续，则称 $x_0$ 为函数的间断点。间断点主要分为两类：

第一类间断点

在该点的左、右极限 $f(x_0^-)$ 和 $f(x_0^+)$ 均存在。

• 可去间断点：左、右极限相等，但不等于该点的函数值或该点无定义。即 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，但 $\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)$。
• 跳跃间断点：左、右极限不相等。即 $f(x_0^-) \neq f(x_0^+)$。

第二类间断点

左、右极限中至少有一个不存在。

• 无穷间断点：当 $x \to x_0$ 时，极限为 $\infty$。
• 振荡间断点：当 $x \to x_0$ 时，函数值在特定范围内反复振荡，没有确定极限。

性质

连续函数在闭区间上表现出一些非常重要的整体性质，是微积分中许多关键定理的基础。
最值定理

零点定理

介值定理

运算性质

1. 四则运算：两个连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是连续函数。
2. 复合函数：连续函数的复合函数在其定义域内仍然连续。
3. 反函数：如果一个严格单调的连续函数存在反函数，则其反函数也是连续的。
4. 初等函数：所有初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数以及它们的有限次四则运算和复合）在其定义域内都是连续的。

一致连续性 (Uniform Continuity)

一致连续是比普通连续更强的概念，它描述了函数在整个区间上“一致地”连续。

定义

设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义，如果对于任意给定的 $\epsilon > 0$，总存在一个 $\delta > 0$，使得对于区间 $I$ 上的任意两点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \epsilon$。

与连续的区别

• 普通连续：$\delta$ 的取值不仅与 $\epsilon$ 有关，还可能与点 $x_0$ 的位置有关。在函数的“陡峭”部分，可能需要非常小的 $\delta$。
• 一致连续：$\delta$ 的取值只与 $\epsilon$ 有关，与点的具体位置无关。一个 $\delta$ 就可以适用于整个区间。

海涅-康托尔定理 (Heine-Cantor Theorem)

如果函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么它在该区间上必一致连续。