一致连续性

一致连续性是比一般连续性更严格的条件。它不仅要求函数在某点附近连续，还要求函数在整个定义域内的连续性具有一致的标准。

定义

设 $f$ 是一个定义在集合 $D \subseteq {R}$ 上的函数。如果对于任意的 $\epsilon > 0$，存在一个 $\delta > 0$ 使得对任意的 $x, y \in D$，只要满足 $|x - y| < \delta$，就有 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$，则称 $f$ 在 $D$ 上一致连续。 用数学符号表示为：

$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x, y \in D, \text{if } |x - y| < \delta \text{ then } |f(x) - f(y)| < \epsilon$$

性质

1. 一致连续性的一个必要条件： 如果函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则 $f$ 在该闭区间上一致连续。这是由于闭区间上的连续函数有界且可以通过紧性性质进行论证。
2. 与连续性的区别：
   • 连续性：对于任意 $\epsilon > 0$，在每个点 $x$ 附近都存在一个 $\delta$，使得 $|x - y| < \delta$ 推出 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$。
   • 一致连续性：存在一个统一的 $\delta$，适用于定义域内的所有点。
3. 一致连续函数的特性：
   • 若 $f$ 在 $D$ 上一致连续，则 $f$ 在 $D$ 上有界。
   • 在无限区间上的某些函数可能连续但不一致连续。例如，函数 $f(x) = x^2$ 在 ${R}$ 上连续但不一致连续。

例子

1. 线性函数：$f(x) = mx + b$ 在 ${R}$ 上一致连续。因为对于任意的 $\epsilon > 0$，可以选择 $\delta = \epsilon / |m|$，这样 $|x - y| < \delta$ 就会保证 $|f(x) - f(y)| < \epsilon$。
2. 正弦函数：$f(x) = \sin(x)$ 在 ${R}$ 上一致连续。因为正弦函数的导数 $\cos(x)$ 有界（绝对值不超过1），可以选择 $\delta = \epsilon$。